Пример решения задачи 9

Особенность задачи

Реакции (а значит, и внутренние усилия и напряжения) нельзя определить с использованием только уравнений статики (уравнений равновесия). Это объясняется наличием «лишних» связей. Каково число этих связей – такова и степень статической неопределимости. Следует подчеркнуть, что степень статической неопределимости не зависит от вида нагрузки, а есть свойство самой системы.

Статически неопределимые задачи можно решить только с помощью дополнительных уравнений. Их обычно называют деформационными уравнениями (реже – уравнениями совместности деформаций). В сущности это уравнения перемещений, так как выражают зависимость между перемещениями точек деформированной конструкции. Число этих дополнительных уравнений должно соответствовать степени статической неопределимости системы.

Установить степень статической неопределимости системы можно двумя путями:

- Формальным – как разность между количеством искомых усилий и числом независимых уравнений статики;

- Практическим – последовательным отбрасыванием «лишних» связей до образования статически определимой системы, которая называется основной системой. Здесь важно «не перестараться», ибо основная система должна быть кинематически неизменяемой (если все оставшиеся элементы считать абсолютно твердыми, то система не должна превратиться в механизм).

В результате решения деформационных уравнений определяются усилия в «лишних» связях, а это значит, что статическая неопределимость будет раскрыта. Далее задача решается обычным образом (она как бы стала статически определимой). Следует подчеркнуть, что составление деформационных уравнений, в отличие от уравнений равновесия, требует учета особенностей, «специфики» данной системы – в этом обычно и заключаются трудности при решении задач этого типа.

Итак, общий порядок решения статически неопределимых задач предлагается такой:

1. устанавливаем степень статической неопределимости ;

2. составляем исходную и деформированную системы;

3. строим эпюры единичных векторных моментов

4. строим эпюры внутренних изгибающих моментов и поперечных сил на каждом участке системы;

5. составляем деформационные уравнения (их столько, какова степень статической неопределимости).

6. строим эпюры суммарных поперечных сил и внутренних изгибающих моментов.

Решение:

1. Определение степени статической неопределимости по формуле

Данная балка однажды статически неопределима.

где - число опорных реакций;

- число замкнутых контуров, которые представляют собой жестко связанную цепь стержней;

- количество внутренних (врезанных) шарниров.

2. Строим эпюры единичных векторных моментов.

3. Определение и построение эпюры внутренних изгибающих моментов и поперечных сил на каждом участке действующих от единичной силы

4. Определение перемещений от действующих нагрузок.

Составление канонического уравнения по методу сил.

Т.к. балка однажды статически неопределимая уравнение будет одно.

Где - перемещение от точки приложения первого лишнего неизвестного по собственному направлению, вызванное действием силы этого же неизвестного;

- перемещение в том же месте, в том же направлении, но вызванного нагрузкой;

- перемещение той же точки по тому же направлению вызванных силой .

5. Определение неизвестных опорных моментов

6. Определение и построение эпюр суммарных поперечных сил на каждом участке

участок АВ

участок ВС

7. Проверка:

8. Определение и построение эпюр суммарных внутренних изгибающих моментов в каждой точке