Компьютерная система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Алфавит системы: I, V, X, L, C, D, M. Изменение весовых значений цифр алфавита определяется циклической последовательностью: умножить на 5, а затем удвоить, тогда таблица весовых значений имеет вид:

Число 672 можно представить в римском изображении: 600+70+2=DCLXXII. Возможна запись любых положительных чисел в диапазоне от 1 до 3999. Для изображения чисел больших по весу используется над- или подстрочный индекс. Например,: 5325=V^MCCCXXV=V_MCCCXXV.

Достоинства непозиционных систем:

- использование в качестве цифр букв основной для римлян разговорной системы;

- возможность выделения некоторой информации в ряду другой нетрадиционной.

Недостатки:

- громоздкость записи;

- непонятность выполнения правил действий над числами, даже простейших арифметических.

Исходя из изложенного, римская, как и другие непозиционные системы, используется редко, в основном для обозначения веков, знаменательных дат.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

В качестве основания системы счисления можно использовать любое значение Р в диапазоне:

.

Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 1 1, 1₂ = 1∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰+1∙2^-1 = 10,5₁₀

Разряды 2 1 0 -1 -2

Число 2 7 6, 5 4₈ = 2∙8²+7∙8¹+6∙8⁰+5∙8^-1+ 4∙8^-2 = 190,6875₁₀

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т. д.

Промежуточная – это система счисления, основание которой кратно 2 в целой положительной степени (n). Следовательно, основания любой промежуточной системы вычисляются зависимостью: Р=2ⁿ, т.е. Р=4, Р=8, Р=16, Р=32 и т.д. В настоящее время широко используются 2 промежуточные системы: восьмеричная (Р=8) и шестнадцатиричная (Р=16).

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. Продвинуть цифру 1, значит, заменить её на 2, продвинуть цифру 2, значит, заменить её на 3 и т. д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, можно записать первые десять целых чисел

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

в десятичной системе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В шестнадцатеричной системе первые 36 числел:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, 22₁₆.

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т. п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для компьютеров, но для человека же наоборот неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Полезно запомнить запись в различных системах счисления первых семнадцати целых чисел: