Математические модели и численные методы решения задач в различных предметных областях

В современном мире математика все больше и больше становится одним из важных инструментов познания человеком окружающего мира. Математика является основным методом теоретического исследования и практическим орудием в естествознании и технике, без математики совершенно невозможно проводить серьезные научные и инженерные расчеты. Недаром родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант (1742 – 1804 гг.) утверждал, что «в каждой отдельной естественной науке можно найти собственно науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику». Математика, как наука, возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вследствие этого математика всегда была численной математикой, ее целью являлось получение решения задач в виде числа. Создание ЭВМ дало новый толчок развитию математики, появились новые дисциплины «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д. Возникло понятие «математическое моделирование». Слово «модель» происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование – это замещение некоторого объекта А (оригинала) другим объектом Б (моделью).

Математическая модель — это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий. Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений, т.е. метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики– математических моделей. Крупнейшие ученые прошлого сочетали в своих трудах как построение математического описания явлений природы (математические модели), так и его исследования. Анализ усложненных моделей требовал создания новых, как правило, численных методов решения задач.

Основоположником отечественного математического моделирования справедливо считают академика А.А.Самарского. Он выразил методологию математического моделирования знаменитой триадой «модель – алгоритм – программа».

1 этап. Модель. Выбирается или строится модель исследуемого объекта, которая в математической форме отражает его важнейшие свойства. Обычно математические модели реальных процессов достаточно сложны и включают в себя системы нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Ядром математической модели, как правило, являются уравнения с частными производными. Для получения предварительных знаний об объекте построенная модель исследуется традиционными аналитическими средствами прикладной математики.

1 этап. Алгоритм. Выбирается или разрабатывается вычислительный алгоритм для реализации построенной модели на компьютере, который не должен искажать основные свойства модели, должен быть адаптирующимся к особенностям решаемых задач и используемым вычислительным средствам. Проводится изучение построенной математической модели методами вычислительной математики.

3 этап. Программа. Создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере. Создаваемый программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную необходимостью использования набора математических моделей и многовариантностью расчетов. В результате исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который сначала отлаживается, тестируется и калибруется на решении набора пробных задач. Затем проводится широкомасштабное исследование математической модели для получения необходимых качественных и количественных свойств и характеристик исследуемого объекта. Предложенная методология получила свое развитие в виде технологии «вычислительного эксперимента». Вычислительный эксперимент– это информационная технология, предназначенная для изучения явлений окружающего мира, когда натурный эксперимент оказывается либо невозможен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений), либо слишком дорог и сложен (например, при изучении астрофизических явлений). Широкое применение ЭВМ в математическом моделировании, разработанная теория и значительные практические результаты позволяют говорить о вычислительном эксперименте как о новой технологии и методологии научных и практических исследований. Серьезное внедрение вычислительного эксперимента в инженерную деятельность еще не очень широко, но там, где оно происходит реально (в авиационной и космической промышленности) его плоды весьма весомы. Отметим некоторые достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натурным. Вычислительный эксперимент, как правило, дешевле физического. В этот эксперимент можно легко и безопасно вмешиваться. Его можно повторить еще раз, если это необходимо, и прервать в любой момент. В ходе этого эксперимента можно смоделировать условия, которые нельзя создать в лаборатории. В ряде случаев проведение натурного эксперимента затруднено, а иногда и невозможно. Часто проведение полномасштабного натурного эксперимента сопряжено с губительными или непредсказуемыми последствиями (ядерная война, поворот сибирских рек) или с опасностью для жизни или здоровья людей. Нередко требуется исследование и прогнозирование катастрофических явлений (авария ядерного реактора АЭС, глобальное потепление или похолодание климата, цунами, землетрясение). В этих случаях вычислительный эксперимент может стать основным средством исследования. С его помощью оказывается возможным прогнозировать свойства новых, еще не созданных конструкций и материалов на стадии их проектирования. В то же время нужно помнить, что применимость результатов вычислительного эксперимента ограничена рамками принятой математической модели. В отличие от натурных исследований вычислительный эксперимент позволяет накапливать результаты, полученные при исследовании какого- либо круга задач, а затем эффективно применять их к решению задач в других областях. Например, уравнение нелинейной теплопроводности описывает не только тепловые процессы, но и диффузии вещества, движения грунтовых вод, фильтрации газа в пористых средах. Изменяется только физический смысл величин, входящих в это уравнение. После проведения первого этапа вычислительного эксперимента может возникнуть необходимость в уточнении модели. На втором этапе учитываются дополнительные эффекты и связи в изучаемом явлении, либо возникает необходимость пренебречь некоторыми закономерностями и связями. Затем этот процесс повторяют до тех пор, пока не убеждаются, что модель адекватна изучаемому объекту. Обычно в процессе математического моделирования и вычислительного эксперимента участвуют помимо профессиональных математиков и программистов специалисты в конкретной предметной области (биологии, химии, медицине и др.). Первый серьезный вычислительный эксперимент был проведен в СССР в 1968 году группой ученых под руководством академиков А. Н. Тихонова и А.А. Самарского. Это было открытие, так называемого, эффекта Т-слоя (температурного токового слоя в плазме, которая образуется в МГД- генераторах) – явления, которого на самом деле никто не наблюдал. И только через несколько лет Т-слой был зарегистрирован в экспериментальных физических лабораториях и технологам и инженерам окончательно стал ясен принцип работы МГД-генератора с Т-слоем. В последние годы ряд Нобелевских премий по химии, медицине, экономике, физике элементарных частиц были присуждены работам, методологическую основу которых составляло именно математическое моделирование. Математические модели для описания изучаемых явлений в механике, физике и других точных науках естествознания использовались издавна. 3-4 тысячи лет назад решали задачи прикладной математики, связанные с вычислением площадей и объёмов, расчетами простейших механизмов, т.е. с несложными задачами арифметики, алгебры и геометрии. Вычислительными средствами служили собственные пальцы, а затем – счёты. Большинство вычислений выполнялось точно, без округлений. В 17 веке Исаак Ньютон полностью описал закономерности движения планет вокруг Солнца, решал задачи геодезии, проводил расчёты механических конструкций. Задачи сводились к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных, вычисления проводились с достаточно высокой точностью до 8 значащих цифр. При вычислениях использовались таблицы элементарных функций, арифмометр, логарифмическая линейка; к концу этого периода появились неплохие клавишные машины с электромотором. В это время были разработаны алгоритмы численных методов, которые до сих пор занимают почетное место в арсенале вычислительной математики. Так Ньютон предложил эффективный численный метод решения алгебраических уравнений, а Эйлер – численный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Классическим примером применения численных методов является открытие планеты Нептун. Уран планета, следующая за Сатурном, который много веков считался самой из далеких планет. К 40-м годам XIX в. Точные наблюдения показали, что Уран едва заметно уклоняется от того пути, по которому он должен следовать с учетом возмущений со стороны всех известных планет. Леверье (во Франции) и Адамс (в Англии) высказали предположение, что, если возмущения со стороны известных планет не объясняют отклонение в движении Урана, значит, на него действует притяжение еще не известного тела. Они почти одновременно рассчитали, где за Ураном должно быть неизвестное тело, производящее своим притяжением эти отклонения. Они вычислили орбиту неизвестной планеты, ее массу и указали место на небе, где в данное время должна была находиться неведомая планета. Эта планета и была найдена в телескоп на указанном ими месте в 1846 г. Ее назвали Нептуном. Для расчета траектории Нептуна Леверье понадобилось полгода. Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Разработкой численных методов занимались крупнейшие ученые своего времени: Ньютон, Эйлер, Лобачевский, Гаусс, Эрмит, Чебышев и др. Численные методы, разработанные ими, носят их имена. Развитие численных методов способствовало постоянному расширению сферы применения математики в других научных дисциплинах и прикладных разработках. Появление ЭВМ дало мощный импульс еще более широкому внедрению численных методов в практику научных и технических расчетов. Скорость выполнения вычислительных операций выросла в миллионы раз, что позволило решить широкий круг математических задач, бывших до этого практически не решаемыми. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов, их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики – вычислительной математики. Вычислительная математика как самостоятельная математическая дисциплина сформировалась в начале двадцатого века. Вычислительную математику определяют в широком смысле как раздел математики, исследующий широкий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. В узком смысле вычислительную математику определяют как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных математических задач. В нашем курсе вычислительную математику будем понимать в узком смысле этого термина. Современные компьютерно-ориентированные численные методы должны удовлетворять многообразным и зачастую противоречивым требованиям. Обычно построение численного метода для заданной математической модели разбивается на два этапа: дискретизацию исходной математической задачи и разработку вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи. Выделяют две группы требований к численным методам. Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исходной математической задаче, вторая – с реализуемостью численного метода на имеющейся вычислительной технике. К первой группе относятся такие требования, как сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов сохранения, качественно правильное поведение решения дискретной задачи. Предположим, что дискретная модель математической задачи представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Обычно, чем точнее мы хотим получить решение, тем больше уравнений приходится брать. Говорят, что численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи. Поскольку реальный компьютер может оперировать лишь с конечным числом уравнений, на практике сходимость, как правило, не достигается. Следовательно, очень важно уметь оценивать погрешность метода в зависимости от числа уравнений, составляющих дискретную модель. По этой же причине стараются строить дискретную модель таким образом, чтобы она правильно отражала качественное поведение решения исходной задачи даже при сравнительно небольшом числе уравнений. Так при дискретизации задач математической физики приходят к разностным схемам, представляющим собой системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Дифференциальные уравнения математической физики являются следствиями интегральных законов сохранения. Поэтому естественно требовать, чтобы для разностной схемы выполнялись аналоги таких законов сохранения. Разностные схемы, удовлетворяющие этому требованию, называются консервативными. Оказалось, что при одном и том же числе уравнений в дискретной задаче консервативные разностные схемы более правильно отражают поведение решения исходной разностной задачи, чем неконсервативные схемы. Сходимость численного метода тесно связана с его корректностью. Пусть исходная математическая задача поставлена корректно, т.е. ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных. Тогда дискретная модель этой задачи должна быть построена таким образом, чтобы свойство корректности сохранялось. Следовательно, в понятие корректности численного метода включаются свойства однозначной разрешимости соответствующей системы уравнений и ее устойчивости. Под устойчивостью понимается непрерывная зависимость от входных данных. Вторая группа требований, предъявляемых к численным методам, связана с возможностью реализации данной дискретной модели на данном компьютере, т.е. с возможностью получить численное решение за приемлемое время. Обычно сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, разбиваются на ряд элементарных. Многие элементарные задачи являются несложными, они хорошо изучены, для них уже разработаны методы численного решения и имеются стандартные программы решения. Целью данной главы является знакомство с методологией построения и исследования основных численных методов алгебры и математического анализа и проблемами, возникающими при численном решении задач.

Построение модели объекта, явления начинается с выделения его наиболее существенных черт и свойств и описания их с помощью математических соотношений. Затем, после создания математической модели, ее исследуют математическими методами, т.е. решают сфор­мулированную математическую задачу.

Построение математической медали является одним из наиболее сложных и ответственных этапов исследования объекта. Математичес­кая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей. Она основывается на упрощении, идеализации и является приближениям описанием объ­екта. Поэтому, результаты, получаемые на основе этой модели, имеют всегда приближенный характер. Их точность определяется степенью соответствия, адекватности модели и объекта. Вопрос о точности является важнейшим в прикладной математике. Однако, он не являет­ся чисто математическим вопросом и не может быть решен математи­ческими методами. Основным критерием истины является эксперимент, т.е. сопоставление результатов, получаемых на основе математичес­кой модели, с рассматриваемым объектом. Только практика позволяет сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них наибо­лее простую и достоверную, указать области применимости различных моделей и направление их совершенствования. Рассмотрим развитие модели на примере известной задачи бал­листики об определении траектории тела, выпущенного с начальной скоростью под углом к горизонту. Для начала, предположим, что скорость и дальность полета тела небольшие. Тогда для данной задачи будет справедлива математическая модель Галилея, основан­ная на следующих допущениях:

1) Земля ‑ инерциальная система;

2) ускорение свободного падения ;

3) Земля ‑ плоское тело;

4) сопротивление воздуха отсутствует.

В этом случав составляющие скорости движения тела по осям х и у равны

(6.1)

а их пути

, (6.2)

где t ‑ время движения.

Определяя t из первого уравнения и подставляя его во второе, получаем уравнение траектории тела, представляющее собой параболу

(6.3)

из условия получаем дальность полета тела

(6.4)

Однако, как показывает практика, результаты, получаемые на основе этой модели, оказываются справедливыми лишь при малых на­чальных скоростях движения тела v <30м/с. С увеличением скорости дальность полета становится меньше величины, даваемой формулой (6.1).

Такое расхождение эксперимента с расчетной формулой (6.1) го­ворит о неточности модели Галилея, не учитывающей сопротивление воздуха.

Рис. 6.1 ‑ Траектория полета тела

Дальнейшее уточнение модели баллистической задачи в части учета сопротивления воздуха было сделано Ньютоном. Это позволило с достаточной точностью рассчитывать траектории движения пушечных ядер, выстреливаемых со значительными начальными скоростями.

Переход от гладкоствольного к нарезному оружию позволил уве­личить скорость, дальность и высоту полета снарядов, что вызвало дальнейшее уточнение математической модели задачи. В новой математической модели были пересмотрены все допущения, принятые в мо­дели Галилея, т.е. Земля уже не считалась плоской и инерциальной системой, и сила земного притяжения не принималась постоянной.

Последующее совершенствование математической модели задачи связано с использованием методов теории вероятности. Это было вы­звано тем, что параметры снарядов, орудий, зарядов и окружающей среды в силу допусков и других причин не остаются неизменными, а подчиняются случайным колебаниям.

В результате последовательных уточнений и усовершенствований была создана математическая модель наиболее полно и точно описы­вающая задачу внешней баллистики. Сопоставление ее данных с ре­зультатами стрельб показало хорошее их совпадение.

На этом примере показаны этапы создания, развития и уточне­ния математической модели объекта, которые сопровождаются посто­янно сопоставлением и проверкой практикой, т.е. с самим реальным объектом или явлением. Именно недостаточно хорошее совпадение ре­зультатов, предоставляемых моделью, с объектом вызывает дальней­шее совершенствование модели.