Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов

Применяя для численного дифференцирования на отрезке [a;b] интерполяционный полином, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов

,

Которыми отрезок делится на п равных частей:

, (6.8)

(i=0, 1, 2, п‑1).

В этом случае шаг интерполирования равен , а интерполяционный многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид. Положим

. (6.9)

С учетом формулы Лагранжа

(6.10)

получим новые выражения для . Учитывая, что

и используя (6.9), последовательно находим:

т.е. в общем случае:

(6.11)

i=0, 1, …, п.

.

Обозначим

тогда выражение примет вид:

(6.12)

Учитывая, что при постоянном шаге имеет место

i=0, 1, …, п,

последовательно находим:

(6.13)

Заметим, что в (6.13) ровно п строк (i-тая отсутствует), причем значения разностей из первых i строк положительны, а остальных – отрицательны. Используя (6.13), получаем:

т.е.

(6.14)

С учетом представлений (6.12) и (6.14) формула Лагранжа (6.10) для равноотстоящих узлов принимает вид:

. (6.15)

Пример 6.1.

Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной своими значениями на равноотстоящих узлах (п=2, h=1):

Таблица 6.1

Используя формулу (6.15), запишем: