Постановка задачи численного интегрирования

При вычислении определенного интеграла

где f(x) – непрерывная на отрезке [a;b] функция, иногда удается воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

(6.25).

Здесь F(x) – одна из первообразных функции f(x). Однако даже в тех редких случаях, когда первообразную удается явно найти в аналитической форме, не всегда удается довести до числового ответа значение определенного интеграла. Если учесть, что подынтегральная функция задается таблицей или графиком, то интегрирование по формуле (6.24) не получает широкого применения на практике.

В подобных случаях применяют различные методы численного интегрирования. Формулы, используемые для вычисления однократных интегралов, называют квадратурными формулами.

Прием построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция f(x) заменяется на отрезке [a;b] интерполяционным многочленом, например, многочленом Лагранжа , и получается приближенное равенство

(6.26)

Предполагается, что отрезок [a;b] разбит на п частей точками , наличие которых подразумевается при построении многочлена .

Подставляя вместо (6.10), получим

Таким образом,

(6.27)

где (6.28)

В формуле (6.27) коэффициенты не зависят от функции f(x), так как они составлены только с учетом узлов интерполяции; если f(x) – полином степени п, то формула (6.27) точная, так как .