Оценка точности квадратурных формул

Как следует из оценочных формул (6.38) и (6.43), оценка погрешности метода интегрирования по формулам трапеций и Симпсона возможна лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически. Однако даже и в этом случае на практике применяется следующий прием, пригодный для каждого из рассмотренных методов интегрирования.

Искомый интеграл вычисляется дважды: при делении отрезка на п частей и на 2п частей (при интегрировании по формуле Симпсона п должно быть четным). Вслед за этим полученные значения интеграла I_n и I_2n сравниваются, и совпадающие первые десятичные знаки считаются верными.

Пусть R_n и R_2n – погрешности интегрирования по формуле Симпсона, соответственно при п и 2п отрезках разбиения. Учитывая оценку (6.43), можно составить равенство:

(6.44)

где h_n и h_2n – длина отрезков разбиения (шаг интегрирования) в первом и втором случае. Т.к. Тогда из (6.44) получаем:

(6.45)

Если I – истинное значение интеграла, то I=I_n+R_n и I=I_2n+R_{2n ,} откуда

I_n+16R_2n= I_2n+R_2n, т.е.

(6.46)

Формула (6.46) удобна для практической оценки погрешности метода Симпсона, но требует двойного счета.

Из оценочных формул (6.39) и (6.42) следует, что ошибка интегрирования по методу трапеций и методу Симпсона уменьшается с уменьшением шага интегрирования. При последовательном увеличении числа отрезков разбиения будем получать значение интеграла, все более и более близкое к истинному. Этот вывод имеет теоретическое значение. В процессе практических вычислений при последовательном удвоении числа отрезков разбиения начинает сильно прогрессировать удельный вес ошибки округления, значение которой с некоторого момента ставит предел достижимой точности результата интегрирования.