Модифицированный метод Эйлера

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппрок­симацию u(x) на рассчитываемом шаге. Для этого при разложении u(x) в ряд Тейлора учтем дополнительно слагаемое, содержащее h² и d²u(x_i)/dx² в (3). Определим вторую производную, аппроксимировав ее конечной разностью:

(6.52)

где x = h, u'(x_i + h) = du(x_i + h)/dx и u'(x_i) = du(x_i)/dx.

Подставляя полученное выражение в (6.49) и отбрасывая члены ряда, начиная со слагаемого, содержащего h³, запишем

Заменяя в последнем выражении производные с помощью (1) так же, как это было сделано в ранее, и, используя сокращенные обозначения, полу­чим расчетную формулу модифицированного метода Эйлера

(6.53)

Соотношение (6.53) дает решение для u_i+1 в неявном виде, поскольку u_i+1 присутствует одновременно в левой и правой его частях. Следует отметить, что использование неявных методов оправдано тем, что они, как правило, более устойчивы, чем явные.

Формула (6.53) может рассматриваться и как явное решение, если в ее правую часть подставить значение u_i+₁*, рассчитав его предварительно мето­дом Эйлера по формуле (6.51). При этом значение u_i+₁* является прогнозом, а уточнение результата по формуле (6.53) - его коррекцией. Непосредственная подстановка формулы Эйлера (6.51) в правую часть (6.53) дает расчетное соотно­шение метода Эйлера-Коши (или метода Хьюна).

Дальнейшее снижение погрешности решения можно получить за счет ис­пользования лучшей аппроксимации u(x), учитывающей слагаемые высоких порядков. Эта идея положена в основу методов Рунге-Кутта.