Метод стрельбы

Итак, если дана краевая задача, например, в вышеприведенной форму­лировке, то в методе стрельбы она заменяется задачей Коши для того же уравнения (6.60) но с начальными условиями

u(a)=A, (6.62)

Здесь u(a) ‑ точка, которая является началом кривой решения u(x) диф­ференциального уравнения, - угол наклона касательной к этой кривой в на­чальной точке.

Считая решение задачи Коши зависящим от начального условия , будем подбирать такое значение , при котором кривая реше­ния u(x) в точке b даст совпадающий с (6.61) результат u(b) = B. Если это усло­вие будет выполнено, то решение задачи Коши совпадет с решением краевой задачи.

Применительно к описанному подходу называние «метод стрельбы» вполне оправдано, поскольку в нем производится как бы "пристрелка" по уг­лу наклона кривой u(x) в начальной точке.

Чтобы сократить количество попыток при поиске решения u(x), приме­няют различные стратегии подбора параметра . Например, при использова­нии метода половинного деления действуют следующим образом. Вначале выполняют два пробных расчета при значениях параметра равных и . Эти значения выбирают таким образом, чтобы при решение давало в точке x = b «перелет», то есть u(b) > B, а при - «недолет», то есть u(b) < B.

Далее, используя в начальном условии (6.61) значение , вновь численно решают задачу Коши. Из трех полученных решений отбра­сывают то, которое дает в точке x = b наибольшее отклонение от B. Затем от двух оставшихся значений параметра находят среднее и вновь выполня­ют с этим значением расчет.

Повторение описанного процесса прекращают, когда разность двух по­следовательно найденных значений станет меньше некоторого заданного малого числа или достаточно малым будет отклонение u(b) от B. Подобный алгоритм может быть построен и с использованием метода Ньютона.