![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Классификация уравнений по математической формеВо многих случаях для описания физических процессов используют уравнений с частными производными до второго порядка включительно. Так, например, изучение свободных колебаний различной природы приводит к волновым уравнениям вида
где u(x,y,z,t) - функция, описывающая волновой процесс, x, у, z - координаты, с - скорость распространения волны в данной среде, t - время. Оператор Процессы распространения тепловой энергии описываются уравнением теплопроводности
где р и C ‑ плотность и теплоемкость вещества, Т - температура, к - коэффициент теплопроводности, Q ‑ плотность источников тепла. Анализ стационарных состояний, например, статических тепловых, электрических, магнитных полей или деформаций при статических нагрузках проводят, используя уравнение Пуассона
где u(x,y,z) ‑ функция, описывающая статическое поле, /x,y,z) - распределенные источники. Если (x,y,z) = 0, то (6.67) обращается в уравнение Лапласа:
Известны и другие виды задач и соответствующие им дифференциальные уравнения в частных производных, например, уравнение диффузии или уравнение Гельмгольца. Несмотря на различие процессов, описываемых рассмотренными уравнениями, и форм их записи, все они с математической точки зрения могут быть представлены как частные случаи обобщенной формы дифференциального уравнения второго порядка. Рассмотрим уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными x и y:
где A, B, С и D ‑ некоторые функции, зависящие в общем случае от х, у, u, ди/дх и ди/ду, причем A, B и С одновременно не обращаются в ноль. Дифференциальные уравнения, описывающие физические поля, могут быть нелинейными. Однако на практике многие задачи рассматриваются в линейном приближении, когда уравнение с частными производными линейно относительно неизвестной функции и и ее частных производных. На основании того, что уравнению (6.69) можно поставить в соответствие квадратичную форму 1) гиперболический, если B2 ‑ 4AC>0 ‑ его аналогом является волновое уравнение (6.65); 2) параболический, если B2 ‑ 4AC = 0 ‑ его аналог уравнение теплопроводности (6.66); 3) эллиптический, если B2 ‑ 4AC < 0 ‑ аналог уравнение Пуассона (6.67) или Лапласа (6.68). В задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, другой важной составляющей помимо самого уравнения является формулировка дополнительных условий. Для задач с уравнениями гиперболического или параболического типа, содержащих в качестве независимой переменной время t, условия по t обычно формулируются как начальные, описывающие исходное состояние системы. По координатам х, у и z задают граничные условия. В тепловых задачах они, например, описывают распределение температуры на границе расчетной области. В задачах с уравнениями эллиптического типа, не содержащими переменную t, используют только граничные условия по координатам х, у и z, а саму задачу называют краевой. Если краевое условие задает распределение функции u на границе, то его принято называть условием Дирихле. Условие, определяющее производную С помощью дифференциальных уравнений формулируют и другой вид задач - задачи на собственные значения, связанные, например, с определением собственных волн (частот) колебательных систем или волноведущих структур. Однако здесь они не рассматривается. Приведенная классификация позволяет определить общие подходы к решению дифференциальных уравнений в задачах различных по физической сути, но сходных с математической точки зрения. В настоящее время широкое распространение получили метод конечных разностей и метод конечных элементов, основы которых и будут рассмотрены ниже.
|