Построение решения

Вначале необходимо провести объединение конечных элементов в ансамбль. Значения u₁, u₂, и₃, ... в узлах теперь будем рассматривать как неиз­вестные переменные, которые необходимо найти. Сформируем из этих зна­чений, взятых по всей расчетной области, столбцовую матрицу, которую обозначим . Каждой строке соответствует узел сетки конечных элементов. Тогда аппроксимацией для всей расчетной области (в двухмерном случае) будет

,

где - матричная строка функций формы всех конечных элементов, вхо­дящих в расчетную область. При составлении матриц и произво­дится сквозная нумерация узлов. Для двух- и трехмерных задач эта процеду­ра сложна и от нее в значительной степени зависит время расчета.

Следующий этап ‑ построение разрешающей системы алгебраических уравнений на основе конечно-элементной аппроксимации. В результате ре­шения задачи узловые значения u₁, u₂, u₃, ... должны быть «подобраны» так, чтобы они обеспечивали наилучшее приближение к истинному распределе­нию u(x,y). Этот «подбор» может осуществляться различными способами.

Существуют вариационная и проекционная формулировки метода ко­нечных элементов. При вариационном подходе производится минимизация некоторого функционала, связанного с исходным дифференциальным урав­нением. Например, в задачах механики может минимизироваться потенци­альная энергия системы. Процесс минимизации приводит к решению систе­мы алгебраических уравнений относительно узловых значений и(х).

Проекционный вариант метода конечных элементов является частным случаем метода взвешенных невязок. Последний основан на минимизации невязки в дифференциальном уравнении при подстановке в него приближен­ного решения вместо точного. В методе конечных элементов оценка невязки производится по отдельным элементам и также сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно узловых значений и(х).

При построении решения функции формы N позволяют определять в пределах каждого элемента пространственные дифференциальные операторы первого порядка от скалярного или векторного поля (см. (22)).

В методе конечных элементов также как и в методе конечных разно­стей матрица коэффициентов системы уравнений включает большое число нулевых элементов, что облегчает решение задачи.

К достоинствам метода конечных элементов, благодаря которым он на­ходит широкое применение, относятся гибкость и разнообразие сеток, четко формализованные алгоритмы построения дискретных задач для произволь­ных областей, простота учета естественных краевых условий. Кроме того, этот метод применим к широкому классу исходных задач, а оценки погреш­ностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей.

Несмотря на то, что метод конечных разностей на первый взгляд пред­ставляется наиболее легким в реализации, и был разработан раньше метода конечных элементов, последний в настоящее время является доминирующим в современных расчетных программах.