Стереографическая проекція

Важлива властивість будь-якої карти - збереження кутів (кут між будь-якими двома лініями на карті повинен бути таким же, як кут між прообразами цих ліній на земній поверхні). Збереження кутів особливо важливо для мореплавання й аеронавтики, тому що воно означає, що спостережуваний кут між будь-якими двома орієнтирами дорівнює куту, вимірюваному на карті за допомогою транспортира. Крім того, на такій карті залишаються незмінними й площі малих областей. Карти, що зберігають кути, називаються конформними. Найпростіше побудувати конформну карту за допомогою стереографической проекції.

На мал. 9.8 показано, як поверхня сфери в крапці проектується із крапки (приналежній сфері) на площину, дотичну до сфери в діаметрально протилежній крапці (антипод крапки ). Проекція називається екваторіальною, полярної або косою залежно від того, де перебувають антиподи: на екваторі, полюсах або в якій-небудь іншій крапці земної поверхні відповідно. На жаль, конформность викликає перекручування масштабу, що зростає зі збільшенням відстані від центра карти.

Рис. 9.8. Три проекції

Позначимо за довготу й доповнення до широти крапки на сфері буквами й відповідно, , а через і - координати проекцій цієї крапки в деякої декартовой системі координат, заданої на площині проекції. Відповідні формули проектування для Північної півкулі мають такий вигляд:

Тут і надалі радіус уважається рівним одиниці. Вісь спрямована уздовж меридіана 135°.