Ортогональні проекції

Спочатку розглянемо математичний опис паралельних проекцій як більше простих. Випадок, коли картинна площина перпендикулярна осі й задається рівнянням (тобто ортографическая проекція), фактично вже розглядався в лекції 4, де був наведений вид матриць проекції на координатні площини.

Випадок аксонометричної проекції зводиться до послідовності перетворень, подібно тому як здійснювався поворот у просторі щодо довільної осі. Нехай площина задається одиничним вектором нормалі й відстанню від початку координат . Канонічне рівняння площини, таким чином, має вигляд

Вектор, спрямований по нормалі від початку координат до перетинання із площиною, є

Координати вектора одиничної нормалі є її напрямними косинусами.

Проектування в просторі однорідних координат здійснюється наступною послідовністю кроків.

- Зрушення на вектор за допомогою матриці

-

- Поворот, що сполучає напрямок нормалі з напрямком осі . Як було показано в лекції 4, цей поворот можна реалізувати у вигляді двох поворотів: перший (щодо осі ) переводить нормаль у площину , а потім - поворот щодо осі до сполучення нормалі з віссю . Відповідну матрицю обертання, що є добутком двох матриць, позначимо .

- Проекція на площину за допомогою матриці

-

- Поворот за допомогою матриці .

- Зрушення на вектор за допомогою матриці

Повне перетворення, таким чином, визначається матрицею