Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей




Читайте также:
  1. Amp; 2. Окремі види ризиків та їх характеристика. Концепція прийнятного ризику
  2. Ei — экспертная оценка i-й характеристики.
  3. I. Процессуальные характеристики мышления.
  4. I. ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЦИПЛИНЫ
  5. I. Этиологическая характеристика
  6. II Гипотеза
  7. II. Общая характеристика искусства Древнего Египта, периодизация
  8. II. Физические характеристики участников коммуникации
  9. III, IV и VI пары черепных нервов. Функциональная характеристика нервов (их ядра, области, образование, топография, ветви, области иннервации).
  10. III. Характеристика миграционной ситуации.

Равенство дисперсий. Пусть имеются две случайные величины, имеющие нормальный закон распределения, причем числовые значения параметров неизвестны. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочные исправленные дисперсии, оценивающие неизвестные дисперсии. После определения исправленных дисперсий две случайные величины именуют: случайную величину с большей исправленной дисперсией называют Х, а с меньшей – Y.

В основу проверки данной гипотезы положен критерий, который при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера (F-распределение) с числом степеней свободы kx = nx – 1 и ky = ny - 1. Границы критической области определяют по соответствующему Приложению 7 (таблица Фишера или расширенная таблица Фишера-Снедекора).

В Exel в Пакете анализа присутствует Двухвыборочный F-тест для дисперсии. Здесь проверка всегда односторонняя. Если в графе P(F<=f) односторонняя указана величина, меньшая выбранного Альфа, то основная гипотеза Н0 отклоняется на уровне значимости α.

Пример 5. Рабочий в начале смены настроил два станка-автомата. Предварительным анализом было установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения. В конце смены был проведен выборочный контроль 14 деталей, обработанных на первом станке, и 9 деталей - на втором станке и исправленные дисперсии соответственно составили 5мм2 и 7 мм2. Проверить гипотезу о том, что два станка-автомата имеют одинаковую точность.

Предварительно именуем выборки: с большей дисперсией – X, с меньшей – Y: , следовательно, и .

1. Принимаем и .

2. Назначаем .

3. Критерий , имеющий распределение Фишера ( - распределение) с числом степеней свободы и .

4. .

5. Согласно гипотезе критическая область W – правосторонняя:

(по Приложению 7).

6. Т.к. нулевая гипотеза принимается при уровне значимости 0,05.

7. Вывод: Станки-автоматы имеют одинаковую точность.

Равенство математических ожиданий (дисперсии известны). Пусть Х и Y – случайные величины, имеющие нормальный закон распределения , , причем числовые значения математического ожидания неизвестны, а числовые значения дисперсии известны. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочное среднее арифметическое (соответственно и ), которое дает приближенное представление о числовом значении математического ожидания.



В качестве критерия проверки используют величину, которая зависит от выборочных данных и по значению которой можно судить о близости выборочных средних арифметических двух распределений: . Выбранный критерий при выполнении нулевой гипотезы подчиняется стандартному нормальному закону распределения Z .

Пример 6. Рабочий в начале смены настроил два станка-автомата: X и Y. Предварительным анализом было установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения с дисперсией 5 для станка X и 7 для станка Y. В конце смены был проведен выборочный контроль 14 деталей, обработанных на станке X, и 9 деталей - на станке Y. Средние диаметры валиков соответственно составили: для автомата X – 182 мм, для Y – 185 мм. Проверить гипотезу о том, что два станка-автомата настроены на один размер.

1. Принимаем и .

2. Назначаем .

3. Критерий: ,

4.

5. Согласно гипотезе критическая область W – левосторонняя:



и по Приложению 2 и .

6. Т.к. нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости 0,01.

7. Вывод: различие выборочных средних неслучайно и станки не настроены на один размер.

Равенство математических ожиданий (дисперсии неизвестны). Пусть Х и Y – случайные величины, имеющие нормальный закон распределения , , причем числовые значения математического ожидания и дисперсии неизвестны. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочное среднее арифметическое (соответственно и ), которое дает приближенное представление о числовом значении математического ожидания, а также выборочную исправленную дисперсию, оценивающую неизвестную дисперсию ( ).

Применяемый в данном случае критерий Стьюдента предполагает равенство неизвестных дисперсий. Поэтому на предварительном этапе необходимо убедиться в этом предположении. В основу проверки данной гипотезы положен критерий:

который при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k = nx + ny – 2.

Пример 7. Рабочий в начале смены настроил два станка-автомата. Предварительным анализом было установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения. В конце смены был проведен выборочный контроль 14 деталей, обработанных на первом станке, и 9 деталей - на втором станке. Средние диаметры валиков составили: для первого автомата – 182 мм, для второго – 185 мм, а выборочные исправленные дисперсии соответственно 5 и 7 . Проверить гипотезу о том, что два станка-автомата настроены на один размер.

На предварительном этапе именуем выборки: с большей дисперсией – X, с меньшей – Y: , следовательно, и .

1. Принимаем и .

2. Назначаем .

Дополнительно проверяем условие равенства дисперсий - .

3. Критерий: , имеющий распределение Стьюдента с числом степеней свободы .

4. .

5. Согласно гипотезе критическая область W – левосторонняя:

по Приложению 6 находим одностороннюю критическую точку ; .

6. Т.к. нулевая гипотеза не противоречит опытным данным и принимается при уровне значимости 0,05.

7. Вывод: Различие выборочных средних случайно и станки настроены на один размер.

Exel позволяет провести испытание гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с случае равенства неизвестных генеральных дисперсий: Анализ данных и Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями. В графах P(T<=t) дано значение уровня значимости для односторонней и двусторонней проверок. Если это значение меньше заданного Альфа, то основная гипотеза отвергается. Если условие равенства неизвестных генеральных дисперсий не выполняется, следует выбирать Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями.

Таблица 2. Проверка гипотез о равенстве числовому параметру

Гипотеза Н0 Критерий Примечание
Равенство дисперсий D(Х) = D(Y) -
Равенство математических ожиданий М(Х) = М(Y) Дисперсии (генеральные) известны
  Дисперсии (генеральные) неизвестны, но равны (предварительно проверить Н0 : D(X)=D(Y))
Дисперсии (генеральные) неизвестны и неравны
Равенство вероятностей рx = рy

Равенство вероятностей. На практике часто встречается задача сравнения долей признака (вероятностей) в двух совокупностях. Например, если выборочная доля признака в одной совокупности отличается от такой же доли в другой совокупности, то можно ли считать, что наличие признака в одной совокупности действительно вероятнее, или полученное расхождение является случайным? Для проверки гипотезы из двух генеральных совокупностей составляют выборки достаточно большого объема (n > 30) и по ним определяют выборочные доли (частости), которые являются точечными оценками неизвестных генеральных долей: и . В качестве критерия проверки используют величину, которая зависит от выборочных данных и по значению которой можно судить о близости выборочных долей двух распределений:

. Выбранный критерий при выполнении нулевой гипотезы подчиняется стандартному нормальному закону распределения Z . Выборочная доля объединенной выборки определяется по формуле: .

Пример 8. В результате выборочной проверки качества однотипных изделий оказалось, что из 300 изделий фирмы А бракованных – 30, а из 400 фирмы В – 52 изделия. Можно ли считать, что различия в качестве изделий различных фирм существенны?

1. Принимаем и .

2. Назначаем .

3. Критерий:

4. и .

5. Согласно гипотезе критическая область W – левосторонняя:

и по Приложению 2 ; .

6. Т.к. нулевая гипотеза не противоречит опытным данным и принимается при уровне значимости 0,05.

7. Вывод: различия в качестве изделий фирм А и В несущественны (случайны).


Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 22; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты