Мичио Каку 5 страница

3. Несложно установить истинность следующих утверждений:
если х<у и y<z, то x<z;

если х=у и ущ, то x=z;

если х ровесник у и у ровесник z, то х ровесник z; если х старше у и у старше z, то х старше z; если а\\Ь и Ь\\с, то а\\с.

Однако если х — отец у и у — отец z, то z не есть отец z (он его дедушка); если х — друг у, а у — друг z, то вообще не известно, является ли х другом z.

Свойство отношения р—(Р, А, А), состоящее в том, что из хру и ypz следует xpz для любых х, y,z^A, называется транзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — транзитивным.

Свойство отношения р, состоящее в том, что из хру и ypz сле­дует —xpz для любых х, у, zЈ А, называется антитранзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — антитранзитив­ным.

Так, отношения меньше, равно, быть ровесником, старше, па­раллельно являются транзитивными. Отношение быть отцом яв­ляется антитранзитивным, а отношение быть другом не является ни транзитивным, ни антитранзитивным.

Отношение эквивалентности

Выделим теперь класс отношений, играющих особую роль в разбиении множеств предметов на классы, т. е. в классификации множеств.

Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, которые являются рефлексивными, симметричными и транзитивными одновременно. К ним относятся отношения ра­венства чисел и геометрических фигур, подобия фигур, отноше­ние быть ровесником.

Эти и другие подобные им, т. е. обладающие такими же свойст­вами, отношения принадлежат важному классу отношений эквива­лентности, находящих широкое применение и использование, в том числе в курсе математики общеобразовательной школы.

Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отноше­ние, установленное в некотором множестве А, называется отно­шением эквивалентности.

Если между элементами некоторого множества введено или ус­тановлено отношение эквивалентности, то этим самым порождает­ся разбиение данного множества на классы таким образом, что любые два элемента, принадлежащие одному классу разбиения, на­ходятся в данном отношении (иначе: эквивалентны по этому отно­шению), любые же два элемента, принадлежащие различным клас­сам, не находятся в этом отношении (иначе: не эквивалентны по этому отношению). Такое разбиение множества на классы обычно называют разбиением множества на классы эквивалентности.

Разбиение множества блоков (или фигур) на классы эквива­лентности можно смоделировать с помощью следующей игры с тремя обручами.

В множестве всех блоков введем отношение иметь один цвет (или быть одного цвета). Нетрудно убедиться в том, что это

множества всех блоков на классы эквивалентности по отношению быть одного цвета (области (1), (2), (3), (4) оказываются пустыми, так как нет трехцветного или двухцветного блока, область (8) пуста, так как блоков другого цвета, кроме красного, синего или желтого, нет). Нетрудно убедиться в том, что удовлетворяются условия (1)—(3) правильного разбиения (см. 2.1): 1) ни один из классов (красных, синих, желтых) блоков не пуст; 2) эти классы попарно не пересекаются; 3) их объединение равно множеству Мвсех блоков.

Таким же путем, т. е. с помощью отношения быть одного цвета, формируется и само представление о цвете как о классе, объединяющем все предметы одного цвета, скажем все красные предметы.

Аналогично формируется и представление об определенной форме предметов. С помощью отношения иметь одну форму мы

получаем разбиение всех блоков (или фигур) на четыре класса эк­вивалентности такое, что любые два блока (или две фигуры), при­надлежащие одному классу, обладают одной и той же формой, любые же два блока (или две фигуры) различных классов облада­ют различной формой. Сама форма выступает здесь как класс эк­вивалентности. Так, впоследствии, например, формируются представления о круге, квадрате, треугольнике, прямоугольнике и других геометрических фигурах как на плоскости, так и в про­странстве.

Эти примеры показывают, с одной стороны, что отношения эквивалентности являются базой для формирования новых поня­тий и для классифицирующей деятельности, с другой — что рас­смотренные выше (2.1) дидактические игры с обручами обучают этой деятельности.

Отношение порядка

Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, как меньше, больше между числами, предшествует, следует за между точками прямой; старше, моложе между людьми. Эти от­ношения являются антирефлексивными, асимметричными и тран­зитивными.

Всякое антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение в некотором множестве А называется отношением по­рядка¹.

2.3. Числа

Возникновение понятия натурального числа

Теоретические основы формирования элементарных матема­тических представлений у дошкольников включают детальное изу­чение лишь системы натуральных чисел. Поэтому, говоря здесь «числа», мы имеем в виду натуральные числа.

К построению математических моделей явлений, основанно­му на отвлечении от всех свойств предметов, кроме их количест­венных отношений и пространственных форм, человечество при­бегало с первых шагов изучения окружающего мира. Одним из первых достижений на этом пути было возникновение и форми­рование понятия натурального числа. Оно появилось, по-видимо­му, на довольно позднем этапе развития мышления и предполага­ло наличие способности к созданию абстрактных понятий и опе­рированию ими.

Процесс формирования понятия числа был сложным и дли­тельным. На самом раннем этапе устанавливалась равночислен-ность различных множеств, общее же свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравнивае­мых множеств. Например, знали, что два рыболова поймали по­ровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом. В дальней­шем практика экономических и социальных взаимоотношений привела к необходимости выражать численность одних множеств уже через численность других множеств, т. е. общее свойство рав­ночисленное™ стало осознаваться как нечто отличное от кон­кретной природы самого множества, его элементов. Однако в ка­честве эталонов выступали еще различные множества, состоящие из подручных предметов — эквивалентов равночисленности мно­жеств предметов. Еще позже определенное множество, например пальцы на руках и ногах, начали выступать в качестве своеобраз­ного единственного эталона количества, что позволило выделить общее свойство численности, отличное от всех особенных свойств множеств. Впоследствии общее свойство всех равночисленных множеств абстрагировалось от самих множеств и выступило в «чистом виде», т. е. как абстрактное понятие натурального числа. Далее в качестве эталона численности уже выступают сами нату­ральные числа, когда люди говорят не «рука яблок», а «пять яблок» (интересно, что в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти», т. е. о ладони). И наконец, происходит отвлечение от ре­ально существующих ограничений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах. Возникает абстракция бесконечного множества натуральных чисел. Объектом научного анализа стано­вятся свойства элементов самого этого множества, в отвлечении от тех предметов, счет которых привел к созданию понятия числа. Возникает теория, описывающая систему чисел с ее свойствами и закономерностями.

Как будет показано дальше, процесс формирования представ­лений дошкольников о числе в известном смысле в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия.

В математике известны различные способы построения тео­рии натуральных чисел. Мы рассмотрим лишь основные идеи двух теорий натуральных чисел, количественной и порядковой, находя­щие отражение в формировании представлений о числе, счете и арифметических операциях.

Основные идеи количественной теории натуральных чисел

В количественной теории натуральное число с самого начала воспринимается как число элементов (мощность, численность) конечного множества.

Рассмотрим всевозможные конечные множества (говорят «класс, или семейство, множеств») и установим для них отноше­ние эквивалентности следующим образом: два множества А и В будем называть эквивалентными (обозначается это через А~В), если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.

Установленное таким образом отношение множеств является отношением типа эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, сим­метрично и транзитивно. Для любых множеств А, В, С:

а) А~А; б) если А~В, то В~А; в) если А~В и В~С, то А~С.

Поэтому введенное отношение порождает разбиение данного семейства множеств на классы эквивалентности так, что любые два множества одного класса эквивалентны, а любые два множе­ства различных классов неэквивалентны.

Эквивалентные множества не совпадают полностью, всеми своими свойствами: множество пальцев человеческой руки и мно­жество, состоящее из пяти столов, различные, но эквивалентные множества.

Каждый класс эквивалентности характеризуется мощностью, т. е. любые два множества одного класса равномощны (имеют одинаковую мощность). Так как мы имеем дело лишь с конечны­ми множествами, то равномощность означает равночисленность. Мощность, или класс, равночисленных конечных множеств и на­зывают натуральным числом.

Таким образом, каждому конечному множеству Л приписыва­ют в качестве характеристики натуральное число т(А), опреде­ляющее его принадлежность определенному классу эквивалент­ности. При этом множествам, принадлежащим одному классу эк­вивалентности, приписывается одно и то же натуральное число:

если А~В, то т(А)=т(В);

множествам, принадлежащим различным классам эквивалент­ности,— различные натуральные числа:

если А~В, то т (А)^т(В).

Так как А и В — конечные множества, то натуральные числа т(А) и т(В) обозначают числа элементов (численность) этих мно­жеств.

В основе такой концепции натурального числа лежит абстрак­ция отождествления: отношение эквивалентности множеств отож­дествляет множества, принадлежащие одному классу эквивалент­ности по их численности.

В результате этого отождествления от множеств, принадлежа­щих одному классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, в виде самостоятельного понятия — натурального числа.

Название «количественная теория» связано с тем, что в этой теории натуральное число обозначает количество элементов мно­жества.

Основные идеи порядковой теории натуральных чисел

В конце XIX в. была построена порядковая теория натураль­ных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858—1932), построившего эту тео­рию на аксиоматической основе.

Весьма развитый в математике аксиоматический подход к по­строению теорий состоит в следующем: а) выделяются некоторые исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через ранее уже определенные; б) выделяются некоторые исходные предложения, или аксиомы, истинность которых принимается без доказательства; все осталь­ные предложения теории — теоремы — логически выводятся или доказываются с использованием введенных понятий, ранее дока­занных фактов, теорем.

Отметим, что аксиоматический подход применяется для по­строения теории, о которой уже имеются определенные, сформи­рованные интуитивные представления. Иначе говоря, осуществ­ляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».

Подход к построению теории натуральных чисел, берущий на­чало от Пеано, представляет собой определенный способ матема­тизации интуитивного представления о натуральном ряде.

Математизация этого интуитивного понятия приводит к опре­делению натурального ряда как некоторой структуры (T, 1,'), со­стоящей из: а) множества N, элементы которого называются нату­ральными числами; б) выделенного в этом множестве элемента, обозначаемого знаком 1 и называемого единицей; в) определенного в множестве ТУотношения «непосредственно следует за» (число, не­посредственно следующее за числом*, обозначим черезх\ т. е. если у непосредственно следует за х, то у=х'; у! — «сосед справа» для х).

Натуральный ряд обладает следующими интуитивно ясными свойствами (принятыми Пеано в качестве аксиом, характеризу­ющих эту структуру).

I. Единица непосредственно не следует ни за каким натураль­ным числом, т. е. не является «правым соседом» никакого другого натурального числа, это «первое» натуральное число.

П. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число, т. е. любое натуральное число имеет только одного «правого соседа».

III. Любое натуральное число непосредственно следует не бо­лее чем за одним натуральным числом, т. е. единица не следует ни за каким, всякое другое натуральное число — точно за одним.

Всякое натуральное число, кроме единицы, является «правым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».

I. Если какое-нибудь множество М натуральных чисел (Л/c/) содержит 1 и вместе с некоторым натуральным числом х содержит и натуральное число х¹', непосредственно следующее за х, то это множество совпадает с множеством всех натуральных чисел (M=N).

Предложение I, хотя по своему содержанию более слож­но, чем первые три, также выражает достаточно простое свой­ство: с помощью последовательного прибавления единицы, на­чиная с единицы, можно получить все натуральные числа. Вся­кий раз, когда мы доходим до некоторого числа х, допускается возможность написания непосредственно следующего за ним числа х?.

Натуральный ряд в описанном представлении мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его обра­зования незавершаем, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностью осуществления сле­дующего шага.

Свойства I—I характеризуют структуру «натуральный ряд» только с точки зрения отношения ', названного «непосредствен­но следует за». Но это построение можно дополнить свойствами, характеризующими операции сложения и умножения в множе­стве N.

Расширим систему свойств I—I таким образом, чтобы полу­чить характеристику структуры (N, 1,', +, •).

Знак + обозначает операцию «сложение», сопоставляю­щую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х+у, называемое их суммой и обладающее следующими свойст­вами:

т. е. сумма любого натурального числа х с числом 1 равна непо­средственно следующему за х числу хЛ I. Х+у'=(х+у)',

т. е. сумма любого числа х с числом у', непосредственно следу­ющим за любым числом у, равна числу, непосредственно следу­ющему за суммой х+у.

Знак • обозначает операцию умножения, сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х»у, на­зываемое их произведением и обладающее следующими двумя свойствами: II.x»l=x,

т. е. произведение любого натурального числа х и числа 1 равно числу х (умножение какого-нибудь числа на единицу не меняет это число).

III. х»(У)=(х»у)+х, т. е. произведение числа х на число, непосредственно следующее за числом у, равно произведению чисел х и у, сложенному с чис­лом х.

Из свойств I—III выводятся все остальные свойства порядка и операций сложения и умножения натуральных чисел.

Покажем в качестве примера, как, исходя из перечисленных свойств, можно получить таблицу сложения.

Будем исходить из знания того, что непосредственно сле­дующее число за каждым однозначным числом уже получено:

Г=2; 2'=3; 3'=4; 4'=5; 5'=6; 6'=7; 7'=8; 8'=9; 9'=10.

Исходя из свойства , получаем таблицу «прибавления едини­цы»:

1 + 1=1'=2;

2+1=2'=3;

3+1=3'=4;

9+1=9'= 10.

Теперь, зная таблицу и используя свойство I, можем вывести, например, чему равно 2+2:

2+2=2+1'=(2+1)'=3'=4.

Аналогично 3+2=3+Г=(3+1)'=4'=5 и т. д.

Как видно, в описанном построении теории натуральных чисел основную роль играет операция (функция) прибавления единицы

/(х)=х+1,

сопоставляющая с каждым числом х непосредственно следующее за ним число х+1 (илихО- Эта идея используется в обучении счету маленьких детей.

2.4. Геометрические фигуры

Формирование понятия геометрической фигуры

Исторически понятие геометрической фигуры, так же как понятие натурального числа, было одним из исходных по­нятий математики. Как и натуральные числа, понятие геомет­рической фигуры образовалось с помощью абстракции отожде­ствления, в основе которой лежит некоторое отношение экви­валентности. В данном случае таким отношением является сходство, подобие предметов по их форме, с помощью которого множество предметов разбивается на классы эквивалентности так, что любые два предмета одного класса имеют одинаковую форму, а любые два предмета различных классов — различные формы. Абстрагируясь при этом от других свойств предметов (цвета, величины, материала, из которого они сделаны, назна­чения и т. д.), мы получаем самостоятельное понятие геометри­ческой фигуры.

В математике поступают и так: класс подобных по форме предметов определяется любым принадлежащим ему предметом и называется формой.

В связи с рассмотрением отношения эквивалентности нами был приведен пример классификации блоков по их форме. Решая эту задачу, дети получают классы квадратных, круглых, треугольных и прямоугольных блоков, затем каждый из этих классов, так же как и отдельные их представители, называется соответственно квадратом, кругом, треугольником, прямоуголь­ником. В основе выделения этих понятий лежит отношение эк­вивалентности иметь одинаковую форму.

В изучении геометрии, и в частности геометрических фигур, различают несколько уровней мышления.

Первый, самый простейший уровень характеризуется тем, что геометрические фигуры рассматриваются как целые и различают­ся только по своей форме. Если показать дошкольнику круг, квад­рат, прямоугольник и сообщить ему соответствующие названия, то после некоторого времени он сможет безошибочно распозна­вать эти фигуры исключительно по их форме (причем еще не ана­лизированной), не отличая квадрат от прямоугольника. На этом уровне квадрат противопоставляется прямоугольнику.

На следующем, втором уровне проводится анализ восприни­маемых форм, в результате которого выявляются их свойства. Геометрические фигуры выступают уже как носители своих свойств и распознаются по этим свойствам, свойства фигур ло-гически еще не упорядочены, они устанавливаются эмпириче­ским путем. Сами фигуры также не упорядочены, так как они только описываются, но не определяются. Этот уровень мышле­ния в области геометрии еще не включает структуру логического следования.

Описанные выше два уровня вполне доступны детям 4—6 лет, и это обстоятельство следует учитывать при составлении про­грамм обучения и разработке методики.

Из чего состоит геометрическая фигура?

Всякая геометрическая фигура подразумевается состоящей из точек, т.е. всякая геометрическая фигура представляет собой множество точек, в том числе одну точку тоже принято считать геометрической фигурой.

На предматематическом уровне дети знакомятся с простейши­ми, но наиболее распространенными геометрическими фигурами: различными линиями, формами блоков — квадратом, кругом, треугольником, а также пятиугольником, шестиугольником. Строгих определений, разумеется, на этом уровне не дается.

Виды геометрических фигур

Будем рассматривать далее лишь те виды простейших геомет­рических фигур, с которыми приходится иметь дело в процессе обучения дошкольников.

Все геометрические фигуры делятся на плоские и пространст­венные. Так, например, квадрат, круг — плоские фигуры; куб, шар — пространственные. Начнем с рассмотрения линий. Под линией будем иметь в виду плоскую линию — линию, все точки которой лежат на некоторой плоскости, а сама линия есть под­множество точек плоскости.

Прямую линию, или просто прямую, можно выделить среди других линий с помощью ее характеристических свойств, т. е.

таких свойств, которыми обладает только прямая и никакие дру­гие линии.

На илл. 8 между деревом и домом проложено несколько тро­пинок. На геометрическом языке это означает: через две точки D и С проходит несколько линий. Прямая выделяется среди них тем, что это — линия кратчайшего расстояния.

Еще одно характеристическое свойство прямой: через две точки D и С можно провести много различных линий, прямых — только одну, т. е. через две точки проходит одна и только одна прямая.

Линии бывают замкнутыми и незамкнутыми. Например, пря­мая — незамкнутая линия, окружность — замкнутая.

По отношению к прямой две точки могут находиться «по одну сторону» от нее или «по разные стороны». Например, если дом и дерево находятся по одну сторону от речки, можно дойти от дома до дерева или обратно, не проходя через мост. Если же они нахо­дятся по разным сторонам от реки, то дойти от дома до сада или обратно, не проходя через мост, нельзя.

На геометрическом языке эта ситуация описывается следу­ющим образом. Две точки А и В находятся по одну сторону от прямой /, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает прямую / (илл. 9).

Первые представления о внутри и вне закрепляются в играх с обручами, когда дети встречаются со все усложняющимися ситуа­циями: определение блоков внутри и вне одного обруча, внутри одного и вне другого обруча, внутри всех трех обручей, внутри двух обручей и вне третьего и т. п. Поэтому перед решением задач, связанных с классификацией блоков или фигур в играх с обруча­ми, необходимо выяснить, распознают ли дети внутреннюю и внешнюю области по отношению к каждому обручу.

Переведем теперь эти ситуации на язык геометрии.

Интуитивно ясно, что всякая окружность разбивает множест­во всех не принадлежащих ей точек плоскости на две области (илл. 10). Если две точки А и В или D и Е лежат в одной области, то отрезок, соединяющий их, не пересекает линии /; если две точки, например С и D, принадлежат различным областям, то со­единяющий их отрезок пересекает линию / (в точке К).

Илл. 10

Одна из этих областей называется внутренней, другая — внеш­ней. Каким же геометрическим свойством можно охарактеризо­вать внутреннюю или внешнюю область?

Область, которая интуитивно принимается за внешнюю, обла­дает следующим свойством: можно найти в этой области две точ­ки, например D и Е, такие, что прямая, проходящая через них, целиком лежит в этой области. Вторая область, которая интуитивно принимается за внутреннюю, не обладает этим свойством или характеризуется свойством, представляющим собой отрицание ха­рактеристического свойства внешней области, т. е. нельзя найти в ней такие две точки, чтобы прямая, проходящая через них, лежала целиком в этой области (или, иначе, прямая, проходящая через любые две точки этой области, обязательно пересекает линию /)-

Выше мы пользовались понятием отрезок и связывали его не­изменно с двумя точками: «отрезок АВ», «отрезок, соединяющий точки А и В» и т. п. Что же такое отрезок? Иногда говорят «часть прямой». Это можно понимать как подмножество точек прямой. Но какое это подмножество?

Иногда пользуются отношением между, применимым к трем точкам. Это отношение соответствует наглядному представлению о точке, лежащей на прямой между двумя другими точками: если точка С лежит между точками А и В, то нельзя «дойти» по прямой от А к В, не пройдя через точку С. Эти наглядные представления под­сказывают и некоторые свойства отношения между: если точка С лежит между А и В, то С лежит и между В и А; из трех точек только одна лежит между двумя другими, т. е. если Слежит между А и В, то уже А не лежит между Си В, а также В не лежит между А и С.

Имеются две различные трактовки понятия отрезка (по суще­ству это два различных понятия). По одной из них отрезку АВ при­надлежат сами точки А я В (концы отрезка) и все точки прямой АВ, лежащие между А и В. По другой трактовке точки А и В не счи­таются принадлежащими отрезку АВ, хотя по-прежнему называ­ются его концами (т. е. концы отрезка не принадлежат ему).

Мы будем придерживаться первой трактовки, дидактически более целесообразной.

Так как через две точки А и В проходит единственная прямая АВ, то эти две точки определяют и единственный отрезок с кон­цами А я В.

Зная, что такое отрезок, можно уточнить и понятие ломаной линии.

Если А\,А₂, At,, .., A„-j, А_п — точки, никакие последовательные три из которых не лежат на одной прямой, то линия, состоящая из отрезков/41Л2>^2^3> ..,А_п_]А„, называется ломаной линией, эти отрез­ки называются звеньями ломаной, а точки А\, А₂, A3,.., А_п_], А„ — ее вершинами; точки А\ я А_п называются также концами ломаной Если концы ломаной совпадают, то ломаная называется замк­нутой, в противном случае — незамкнутой (строгие определения замкнутой и незамкнутой кривой линии в элементарной геомет­рии не даются).

На илл. 11, А изображена замкнутая ломаная линия, на илл. 11, 2> — незамкнутая.

Как и всякая замкнутая линия, замкнутая ломаная линия раз­бивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две области — внутреннюю и внешнюю.

Среди ломаных линий выделяют простые (без самопересече­ний) ломаные линии, т. е. такие, которые сами себя не пересекают.

Изображенные на илл. 11 ломаные линии простые. На илл. 12 изображены непростые, сами себя пересекающие ломаные линии.

Согласно первой трактовке, модель многоугольника, напри­мер, можно изготовить из проволоки, по второй — вырезать из бу­маги. Какая же из двух трактовок более целесообразна с дидакти­ческой точки зрения? (С логической точки зрения обе трактовки корректны и имеют право на существование.) Для маленьких детей более естественным является называть квадратом, треугольником и т. д. именно ту фигуру, которую они закрасили и вырезали, т. е. ло­маную вместе с ее внутренней областью. Поэтому представляется, что и для школы вторая трактовка является более целесообразной.

Многоугольники классифицируются по числу сторон или углов: треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шести­угольники и т.д. Наблюдая различные многоугольники, можно обнаружить наличие или отсутствие свойства, называемого выпук­лостью.

На илл. 13 изображены многоугольники, обладающие (в случа­ях/1, Б, Г, Е) и не обладающие (в случаях В, Д, Ж) этим свойством.

Как же геометрически описать это интуитивно ясное свойст­во? Любой из многоугольников в случаях Л, Б, Г, Е расположен по одну сторону от прямой, проведенной через каждую его сторону, т. е., если продолжить любую сторону, полученная прямая не пере­сечет многоугольник (с этой целью на рисунке стороны этих многоугольников продолжены пунктиром). В каждом из много­угольников в случаях В, Д, Ж существует хотя бы одна такая сто­рона, продолжение которой пересекает многоугольник. Первые называются выпуклыми, вторые — невыпуклыми.

Треугольник, квадрат, прямоугольник — выпуклые четырех­угольники. Пятиконечная звездочка — невыпуклый десятиуголь­ник.

Стороны и вершины многоугольника, т. е. замкнутая лома­ная, образуют границу многоугольника. Это интуитивно ясное понятие. Например, интуитивное представление о границе фи­гуры готовит детей к географическому понятию границы.

Чем же отличается граничная точка, т. е. точка, принадлежа­щая границе, от внутренней точки многоугольника (и вообще фи­гуры)? Как это различие описать геометрически?

С этой целью введем понятие окрестности точки. Под окрест­ностью точки А будем понимать круг любого радиуса с центром в точке А. Теперь, пользуясь этим весьма наглядным понятием, опи­шем различие между внутренней и граничной точками многоуголь­ника.

Для граничной точки В нет такой окрестности, т. е., какую бы окрестность точки В ни взяли, внутри ее найдутся как внутренние, так и внешние точки. Такими же свойствами обладают внутрен­ние и граничные точки на географической карте, представляющей собой некоторую геометрическую фигуру.

Например, на географической карте России для любой внут­ренней точки можно найти окрестность, внутри которой все точки принадлежат территории России. Для любой точки на гра­нице России такой окрестности нет, т. е. в любой окрестности такой точки найдутся как точки, принадлежащие России, так и точки, принадлежащие соседнему государству.