Мичио Каку 6 страница

Среди форм используемых нами блоков (или фигур) кроме тре­угольника, квадрата, прямоугольника имеется и круг. Кроме того, многие предметы, с которыми встречаются дети (тарелки, блюдца, колеса велосипеда и др.), имеют круглую форму. Считаем нецеле­сообразным для дошкольников вводить термин окружность.

В элементарной геометрии круг определяется как множество (или геометрическое место) всех точек плоскости, удаленных от некоторой точки, называемой центром, на расстояние, не превы­шающее R (R — радиус круга); окружность определяется анало­гично как множество всех точек плоскости, удаленных от точки, называемой центром, на одно и то же расстояние R.

Заметим, что если в этих формулировках слово «плоскость» за­менить словом «пространство», то получатся определения шара и сферы, соответственно, пространственных аналогов круга и окруж­ности.

Круг, окружность, шар и сферу можно определить и генетиче­ски, т. е. описанием процесса образования этих фигур. Этот про­цесс легко смоделировать: если отрезок зафиксировать в одном конце и вращать его около этого конца, то он опишет круг, а второй его конец — окружность. Если полукруг вращать около диаметра, то он опишет шар, а ограничивающая его полуокружность — сферу.

Дошкольники знакомятся также с одним из простейших многогранников, каким является куб.

Куб — пространственный аналог квадрата. Он ограничен шес­тью квадратами. Его можно сконструировать (склеить) из плоской фигуры — выкройки, изображенной на илл. 15

Ознакомление детей с описанными выше простейшими гео­метрическими фигурами является пропедевтической основой для дальнейшего формирования и развития у них геометрических, в том числе пространственных, представлений.

2.5. Величины и их измерение

Что такое величина

Величина — одно из основных математических понятий, воз­никшее в древности и подвергшееся в процессе длительного раз­вития ряду обобщений.

Общее понятие величины является непосредственным обоб­щением более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы, скорости и т. п. Каждый конкретный род величин связан с определенным способом сравнения соответствующих свойств объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при по­мощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого не покрывая целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходимые для сравне­ния площадей плоских фигур, объемов пространственных тел.

Для сравнения двух предметов по массе их взвешивают. Если чаши весов уравновешиваются, то предметы имеют одинаковую массу, если же чаши не уравновешены, то предмет, находящийся на той чаше, которая перетягивает, имеет большую массу, второй предмет — меньшую.

Понятия длины, площади, объема, массы могут быть обобще­ны на любой род величин: в системе всех однородных величин, т. е. всех длин, всех площадей, всех объемов, всех масс и т. д., ус­танавливается отношение порядка. Две величины а и Ь одного и того же рода или совпадают (а=Ь), или первая меньше второй (а<Ь), или вторая меньше первой (Ь<а).

Однородные величины можно также складывать. Например, если точка В лежит между точками А и С, то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС (илл. 16, А).

Если плоская фигура состоит из двух частей, не имеющих дру­гих общих точек, кроме граничных, то площадь S всей фигуры равна сумме площадей S1+S2 этих частей (илл. 16, Б).

Если пространственная фигура состоит из двух частей, все общие точки которых образуют их общую границу, то объем всей пространственной фигуры равен сумме 1+2 объемов Щ и i этих частей (илл. 16, В).

Так раскрывается смысл операции сложения для каждого рода величин (длин, площадей, объемов, масс и т.д.).

Исходя из смысла отношения меньше (<) и операции сложе­ния однородных величин (+), можно убедиться в том, что любая система однородных величин (В, <, +) обладает перечисленными ниже свойствами.

1) Отношение < является, как и между числами, антирефлек­сивным, т. е. -i(o<a) для любого ае В; асимметричным (для любых а, аеВ, если а<Ь, то -*Ь<а) и транзитивным (для любых а, Ь, се В, если а<Ь и Ь<с, то а<с), т. е. является отношением строгого поряд­ка. Причем для любых а, Ь, се В, если а*Ь, то а<Ь или Ь<а, т. е. система однородных величин В упорядочена этим отношением.

2) Если а<Ь, то существует величина се В такая, что а+с=Ь. Величина с называется разностью между величинами b и а и обо­значается «b—а», т. е. а+с=Ь равносильно с—Ъ—а. Например, если взять два отрезка, АВ длины а и CD длины Ъ, причем а<Ь, и отло­жить на отрезке CD отрезок СВ[, равный АВ, то образовавшийся отрезок B\D будет иметь длину c—b-а (илл. 17).

3) Сложение величин, как и сложение чисел, обладает свойст­вом переместительности (коммутативности): a+b=b+a для любых я, be В.

Например, безразлично — присоединить к отрезку АВ длины а отрезок ВС длины b или наоборот — мы все равно получим в результате один и тот же отрезок.

4) Сложение величин обладает свойством сочетательности (ассоциативности):

a+(b+c)=(a+b)+c для любых а, Ь, се В.

Например, если присоединить к отрезку АВ длины а отрезок BD длины Ь+с так, чтобы точка В лежала между точками А и D (илл. 18), то получим отрезок AD длины а+ф+с); если к отрезку АС длины а+b присоединить отрезок CD длины с, то получим от­резок AD, длина которого выражается через (а+Ь)+с; но так как мы получили один и тот же отрезок AD, то a+(b+c)=(a+b)+c. По­этому можно писать без скобок а+Ь+с.

Илл. 18

5) Для любых a, be В, а+Ь>а (свойство монотонности сложе­ния). Например, если точка Я лежит между точками А и С (илл. 18), то длина отрезка АС (а+b) больше длины отрезка АВ (а), или вообще «величина части меньше величины целого».

Измерение величин

Потребность в измерении всякого рода величин, так же как потребность в счете предметов, возникла в практической деятель­ности человека на заре человеческой цивилизации. Так же как для определения численности множеств, люди сравнивали различные множества, различные однородные величины, определяя прежде всего, какая из сравниваемых величин больше, какая меньше. Эти сравнения еще не были измерениями. В дальнейшем процедура сравнения величин была усовершенствована. Одна какая-нибудь величина принималась за эталон, а другие величины того же рода

(длины, площади, объемы, массы и т.п.) сравнивались с этало­ном. Когда же люди овладели знаниями о числах и их свойствах, величине-эталону приписывалось число 1 и этот эталон стал на­зываться единицей измерения. Цель измерения стала более опре­деленной — оценить, сколько единиц содержится в измеряемой величине. Результат измерения стал выражаться числом.

Задача измерения величин, так же как и задача определения численности множеств предметов, является источником, порож­дающим числа. Однако в отличие от первой задачи, решение ко­торой полностью обеспечивается натуральными числами, для за­дачи измерения величин этих чисел недостаточно. Это наглядно обнаруживается описанием процедуры измерения на простейшем примере измерения длин.

Пусть необходимо измерить длину отрезка АВ с помощью еди­ницы измерения CD длины е (илл. 19).

Хотя мы опишем процедуру измерения длины конкретного отрезка АВ с помощью конкретной единицы измерения длины е, все действия и рассуждения, которые мы при этом проведем, носят общий характер и пригодны для решения любой задачи этого типа, т. е. для измерения длины любого отрезка.

Откладываем отрезок CD от точки А последовательно на отрез­ке АВ, при этом возможны следующие случаи.

1. Возможно, что отрезок CD отложится на отрезке АВ целое число раз. На илл. 19, А, например, 5 раз (а вообще п раз), т.е. второй конец отрезка CD (точка D) при пятом (а в общем случае при п-м) отложении совпадает с точкой В (концом отрезка АВ).

Так как длина отрезка АВ равна 5е (пе), то, принимая длину е за 1, можно считать числовое значение длины отрезка АВ равным 5 (в общем случае — я).

Если обозначить числовое значение длины отрезка АВ через \АВ\ (в дальнейшем для краткости вместо «числовое значение длины» будем говорить просто «длина» там, где это не приводит к недоразумению), то в нашем примере |/4i?|=5, а в общем случае \АВ\=п. В этом случае натуральные числа обеспечивают решение задачи измерения.

2. Возможно, что точка А$ (А„) не совпадает с точкой В (илл. 19, Б), причем |Л5.В|<е, т. е. если отложить еще один раз от­резок CD, то конец его Аь(А_п+1) уже окажется вне отрезка АВ, иными словами, точка В окажется между точками А5 и Аь (А_п и A„+i). Тогда длина отрезка АВ уже не выражается натуральным числом, она находится «между» двумя последовательными нату­ральными числами 5<\АВ\<6, или в общем виде п<\АВ\<п+\, между которыми, как известно, нет других натуральных чисел.

В этом случае мы можем лишь приближенно считать длину отрезка АВ равной одному из этих чисел, 5 или 6 (я или п+1). В ре­зультате получаем приближенное значение измеряемой длины с точностью до 1. Это означает, что, принимая одно из этих чисел за значение длины отрезка АВ, мы допускаем погрешность, мень­шую 1, причем число 5 (я) — приближенное значение длины с недостатком, а число 6 (я+1) — с избытком. Если точка В ближе к точке А^ (А„), то число 5 (я) ближе к истинному (точному) значе­нию длины отрезка АВ, если же точка В ближе к точке А^ (А„+\), то число 6 (я+1) ближе к точному значению этой длины. В зави­симости от этого выбирают то приближенное значение, которое ближе к точному, что дает меньшую погрешность.

Если такая степень точности удовлетворяет нас, то можно счи­тать процесс измерения законченным. Однако практика часто предъявляет требование получить результаты измерений с более высокой степенью точности, т. е. с меньшей погрешностью.

С этой целью возникает необходимость продолжить процесс измерения, т. е. измерить длину остатка, отрезка Аф, в общем слу­чае А_пВ. Естественно, это нельзя сделать с помощью той же еди­ницы измерения CD, которая не умещается на этом отрезке. Надо выбрать более мелкую единицу измерения, какую-то часть отрез­ка CD, допустим десятую. Тогда длина е\ этой новой единицы из­мерения равна 0,1е, т.е. числу 0,1 (здесь неявно применяется свойство о возможности деления величины на какое угодно число частей).

Далее процедура измерения повторяется, но уже примени­тельно к отрезку Аф (А_пВ) и с единицей измерения длины 0,1. Значит, опять возможны два случая:

1) Новая единица измерения уместится на отрезке Аф (А„В) целое число раз, например 3 раза, а вообще п_{ раз, где «i< 10, так как прежняя единица измерения е не умещается на отрезке А„В. В этом случае И-#1⁼5,3 (\АВ\=п, п{), т.е. для выражения числового значения длины уже потребовалось дробное число (мы взяли де­сятую долю первой единицы в качестве второй единицы измере­ния, чтобы можно было воспользоваться десятичными дробями).

2) Новая единица измерения не належится целое число раз, т. е. точка В не совпадает с концом накладываемой единицы изме­рения. В этом случае получаем, например, 5,3<|А8|<5,4, или в общем виде п, п\<\АВ\<п, п{, где п{=п\ + \, т.е. каждое из чисел 5,3 и 5,4 («, п\ и п, п{) выражает приближенное значение длины отрезка АВ, первое — с недостатком, второе — с избытком, и оба — с точностью до 0,1. Принимая любое из этих чисел за длину отрезка АВ, мы допускаем погрешность, меньшую 0,1, а следова­тельно, в десять раз меньшую, чем та, которая получается, если принимать за приближенное значение длины этого отрезка нату­ральное число 5 или 6.

Если такая точность удовлетворительна, то процесс измере­ния можно считать законченным. В противном случае процесс продолжается, т. е. повторяется та же процедура, но уже примени­тельно к новому остатку, отрезку А^^В, и с новой единицей наме­рения, длина которой, например, десятая доля прежней единицы, т.е. ^2=0,01. Заметим, что можно было бы принимать 61=72 е, ^e2~^xh ^еь ^и тогда были бы получены приближенные значения длины в виде двоичных дробей.

В результате получаем, например, либо \АВ\=5,36 (]АВ\=п, п\п2), либо 5,36<|Аб|<5,37 (п, п\п2<\АВ\<п, п\п{~), т.е. приближен­ные значения длины: 5,36 (п, n\ni) с недостатком, или 5,37(и, /Ji«₂') с избытком, но уже с точностью до 0,01 или с погрешностью, в 100 раз меньшей, чем первые приближения с помощью натураль­ных чисел 5 или 6.

Если такая точность достаточна для решаемой задачи, то про­цесс измерения считается законченным, в противном случае он продолжается, т. е. процедура измерения повторяется примени­тельно к новому остатку и с новой единицей измерения.

Естественно возникает вопрос: до каких пор может продол­жаться процесс измерения?

Оказывается, вообще возможны два случая: 1) на каком-то этапе процесса измерения единица измерения уложится целое число раз на измеряемом отрезке; 2) ни на каком этапе процесса измерения это не случится и, следовательно, процесс измерения будет продолжаться бесконечно.

Последнее обстоятельство означает, что существуют так на­зываемые несоизмеримые отрезки, например диагональ квадра­та и его сторона. Если измерять диагональ квадрата стороной, т. е. принимая сторону квадрата за единицу измерения, то про­цесс измерения никогда не закончится, так как ни сама сторона квадрата, им любая ее часть, полученная от деления стороны на целое число равных частей, не укладывается целое число раз в диагонали этого квадрата. В этом случае и рациональных чисел, т. е. целых и дробных, недостаточно для решения задачи изме­рения. В математике этот пробел устраняется дальнейшим рас­ширением системы чисел с помощью введения иррациональных чисел. Как Как известно из школьной математики, иррациональные числа представляются в виде бесконечных десятичных неперио­дических дробей и образуют, таким образом, вместе с рацио­нальными числами множество вещественных (или действитель­ных) чисел, т. е. объединение множеств рациональных и ирра­циональных чисел.

Однако только теоретически процесс измерения может ока­заться бесконечным. Практически же процесс измерения длин (и других величин) состоит из конечного числа шагов, что дает в ре­зультате приближенное значение измеряемой величины с любой требуемой степенью точности, зависящей от количества выпол­ненных шагов в процессе измерения.

2.6. Алгоритмы

Что такое алгоритм

Воспитание детей с самого рождения, в частности воспитание дошкольников, включает усвоение ими разного рода правил и их строгое выполнение (правила утреннего туалета, одевания и раз­девания, принятия пищи, перехода улицы и др.). Режим дня до­школьника представляет собой систему предписаний о выполне­нии детьми и воспитателем действий в определенной последова­тельности. Обучая детей счету, измерению длин, сложению и вычитанию чисел, уборке комнаты, посадке растений и т. д., мы сообщаем им необходимые правила о том, что и в какой последо­вательности нужно делать для выполнения задания. Организовы­вая разнообразные дидактические и подвижные игры, мы знако­мим дошкольников с их правилами.

О всех видах деятельности, осуществляемых по определенным предписаниям, говорят, что они выполняются по определенным алгоритмам. С малых лет человек усваивает и исполняет в каждо­дневной жизни большое число алгоритмов, часто даже не зная, что это такое.

Что такое алгоритм? Нередко встречаются виды однотипных задач, например: сложение двух многозначных чисел; переход улицы, регулируемый или нерегулируемый светофором; измерение длины отрезка и т. д. Естественно возникает вопрос: существует ли достаточно общий способ, который можно было бы использовать для решения любой задачи данного вида однотипных задач?

Если такой общий способ существует, то его называют алго­ритмом^ данного вида задач. Для каждого из приведенных выше видов задач имеется соответствующий алгоритм.

1 Слово алгоритм происходит от имени известного математика IX в. аль-Хорезми, что означает «из Хорезма», впервые сформулировавшего правила выполнения арифметических действий над многозначными числами. Через труды аль-Хорезми в Европу проникли спосо­бы действий с числами в десятичной системе счисления, которые стали называть алгоритма­ми согласно латинской транскрипции имени ученого. В течение столетий значение слова «алгоритм» постепенно обобщалось, и сегодня под алгоритмом понимают некоторый общий метод или способ, предписание, инструкцию, свод правил для решения за конечное число шагов любой задачи из определенного вида однотипных задач, для которого предназначен этот метод.

Для задачи сложения двух многозначных чисел известен спо­соб сложения «в столбик», пригодный для сложения любых двух многозначных чисел, т. е. для решения любой частной задачи из этого вида однотипных задач.

Для задачи перехода улицы, например нерегулируемого свето­фором, можно сформулировать общий способ в виде следующего предписания, состоящего из 10 указаний, или команд:

1. Подойди к краю тротуара у знака перехода.

2. Стой.

3. Смотри налево.

4. Если идет транспорт слева, то перейди к указанию 2, иначе — к указанию 5.

5. Пройди до середины улицы.

6. Стой.

7. Смотри направо.

8. Если идет транспорт справа, то перейди к указанию 6, иначе — к указанию 9.

9. Пройди вторую половину улицы до противоположного тро­туара.

10. Переход улицы закончен.

Интуитивно под алгоритмом понимают общепонятное и точ­ное предписание о том, какие действия и в каком порядке необ­ходимо выполнить для решения любой задачи из данного вида однотипных задач.

Это определение, разумеется, не является математическим оп­ределением в строгом смысле, так как в нем встречается много терминов, смысл которых хотя и интуитивно может быть ясен, но точно не определен («предписание», «общепонятное», «точное», «действие»). Однако оно представляет собой разъяснение того, что обычно вкладывается в интуитивное понятие алгоритма, а для наших целей этого вполне достаточно.

Какие же свойства характеризуют всякий алгоритм?

Анализ различных алгоритмов позволяет выделить следующие общие свойства, присущие алгоритмам:

а) массовость, т. е. алгоритм предназначен для решения не од­ной какой-нибудь задачи, а для решения любой задачи из данного вида однотипных задач;

б) определенность (или детерминированность), т. е. алгоритм
представляет собой строго определенную последовательность
шагов, или действий, он однозначно определяет первый шаг и
каждый следующий шаг, не оставляя решающему задачу никакой
свободы выбора следующего шага по своему усмотрению;

в) результативность: решая любую задачу из данного вида
задач по соответствующему алгоритму, мы за конечное число
шагов получаем результат. Разумеется, для различных частных
задач одного вида число шагов может оказаться различным, но
оно всегда конечно.

Алгоритм — одно из фундаментальных научных понятий, ис­пользуемое и математикой, и информатикой — наукой, изучающей способы представления, хранения и преобразования информации с помощью различных автоматических устройств. Наличие алго­ритма для осуществления некоторой деятельности является необ­ходимым условием передачи этого вида деятельности различным автоматическим устройствам, роботам, компьютерам (от отпуска стакана газированной воды, продажи авиабилета с хранением и преобразованием информации о наличии свободных мест до уп­равления сложными технологическими процессами, не говоря уже о выполнении огромных объемов вычислительной работы, связан­ной с решением сложных научно-технических задач).

Имеются различные формы записи или представления алго­ритмов, предназначенные для различных исполнителей: словес­ные предписания, в том числе включающие различные формулы; наглядные блок-схемы, ориентированные на исполнителя-чело­века; программы, представляющие собой запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ, т. е. языке программирования.

Здесь уместно уточнить, что означает выдвинутое требование «общепонятности» предписания, которым задается алгоритм. Это означает, что предписание должно быть сформулировано так, чтобы оно было одинаково понятно всем исполнителям той кате­гории, на которую оно ориентировано. Это имеет чрезвычайно важное значение, в частности, при обучении маленьких детей. На­пример, приведенные выше предписания, задающие алгоритмы перехода улицы и измерения длины, не предназначены для обуче­ния дошкольников. Для этой цели нужно сформулировать их на понятном детям языке, что и делает любой воспитатель, если, раз­умеется, он имеет соответствующую подготовку и понимает свои задачи.

Однако приведенные выше предписания составлены так, что они выявляют шаговую (дискретную) оперативно-логическую структуру алгоритмов. Поясним, что это означает.

1. Каждый алгоритм может быть представлен в виде последо-
вательности шагов. Разумеется, понятие шаг является относитель-
ным. Один и тот же алгоритм можно по-разному представить в
виде последовательности шагов, и не всегда отдельные шаги соот-
ветствуют элементарным действиям. Само понятие элементарное
действие относительно: одно и то же действие может быть для
одного ребенка, и не только ребенка, элементарным, для друго-
го — неэлементарным (в результате чего и возникает необходи-
мость в расчленении этого действия на другие, элементарные,
действия).

Дискретность структуры алгоритма состоит в том, что для каждого шага можно указать однозначно непосредственно сле­дующий за ним шаг.

2. В приведенных выше предписаниях можно различить два ос-
новных вида команд, а следовательно, два основных вида шагов,
представленных этими предписаниями алгоритмов: простые ко-
манды, предписывающие выполнение некоторых действий («смот-
ри влево», «пройди до середины улицы», «выбери мерку», «наложи
мерку» и т. д.), и составные, определяющие разветвление процесса
решения задачи в зависимости от выполнения или невыполнения
некоторого условия («если идет транспорт слева, то перейди к ука-
занию 2, иначе — к указанию 5»), называемые условными.

Условная команда имеет вид «если Р, то А, иначе В». Она пред­писывает следующий порядок действий: если условие Р выполня­ется (истинно), то выполняется А (в нашем примере — возврат к указанию 2). Если же условие Р не выполняется (ложно), что обо­значается словом «иначе», то А пропускается и выполняется В (в на­шем примере осуществляется переход к следующему указанию 5).

Условные команды можно записать сокращенно: «если Р, то А», при этом подразумевается, что если условие Рне выполняется, то осуществляется переход к следующей по порядку команде В приведенных выше примерах условные команды, если усло­вие Р выполняется, определяют повторение некоторых действий («стой», «смотри влево», «смотри вправо», «наложи мерку» и т. д.) определенное число раз (пока условие Р выполняется). Такие про­цессы и соответствующие им алгоритмы, в которых некоторые действия повторяются, называются циклическими.

Если же алгоритм состоит из одних простых команд, то он на­зывается линейным.

Таким образом, различают линейные, разветвленные и цикли­ческие алгоритмы.

Алгоритм можно наглядно представить в виде блок-схемы, со­стоящей из блоков и стрелок. Каждый шаг представляется с по­мощью блока. Блок, предусматривающий выполнение некоторого действия, изображается в виде прямоугольника, внутри которого записано соответствующее действие. Блок, представляющий ло­гическое условие, изображается в виде ромба, внутри которого за­писано проверяемое условие. Если за шагом А непосредственно следует шаг В, то от блока А к блоку В проводится стрелка. От каждого прямоугольника исходит только одна стрелка, от каждого ромба — одна или две стрелки (одна с пометкой «да», идущая к блоку, следующему за логическим условием, если оно истинно, другая — с пометкой «нет», идущая к блоку, следующему за логи­ческим условием, если оно ложно). Начало и конец изображаются овальными фигурами.

Алгоритмы, представленные выше с помощью словесных предписаний, могут быть представлены и с помощью блок-схемы, иными словами, эти предписания переводятся в блок-схемы.

На илл. 20 изображена блок-схема алгоритма перехода улицы, нерегулируемого светофором.

Для изображения алгоритмов некоторых детских игр (правил игры) могут быть использованы специальные условные обозначе­ния, которые легко разъясняются детям.

Приведем в качестве примера игру «Преобразование слов», моделирующую понятие алгоритм преобразования слов в данном ал­фавите.

В этой игре, а по существу серии игр, буквы и слова необыч­ные. Используется двухбуквенный алфавит, состоящий из двухразличных геометрических фигур, например квадратика и кру­жочка, или из цифр 0 и 1. Словами мы называем конечные цепоч­ки из квадратиков и кружочков (во втором варианте конечные

последовательности из нулей и единиц). Любое сколь угодно длинное слово в нашем алфавите преобразовывается по приведен­ным на илл. 21 правилам следующим образом: если в заданном слове имеется квадратик, расположенный левее кружочка, то, со­гласно правилу 1, их нужно поменять местами; если во вновь по­лученном слове опять имеется квадратик, расположенный левее кружочка, нужно опять их поменять местами и т.д.; правило 1 применяется столько раз, сколько возможно, т. е. пока не полу­чится слово, в котором уже нет квадратика, расположенного левее кружочка, или в котором все кружочки лежат левее всех квадрати­ков; затем переходим к применению правила 2, а именно: если имеются два рядом стоящих кружочка, их удаляют, и правило 2 применяется столько раз, сколько возможно, т. е. пока не полу­чится слово, в котором нет двух рядом стоящих кружочков; затем переходим к применению правила 3, а именно: если имеются два рядом стоящих квадратика, их удаляют, и это правило применя­ется столько раз, сколько возможно, т. е. пока не получится слово, в котором нет двух рядом стоящих квадратиков. Полученное слово является результатом преобразования исходного слова по заданным правилам и способу их применения, определяющим вместе неко­торый алгоритм преобразования слов в данном алфавите.

Как показывает опыт обучения, повторив эту игру несколько раз для различных «слов», дети 5—6 лет в состоянии заранее пра­вильно определить, какие вообще могут оказаться результаты со­кращения «слов» по заданным правилам: кружочек и квадратик, или один кружочек, или один квадратик, или «ничего» (это «ни­чего» называют «пустым словом»).

Приведенные выше правила игры вместе с процедурой их применения могут быть изображены блок-схемой (илл. 23).

Умение применять разного рода алгоритмы, тем более умение предвидеть и обосновывать возможные результаты их примене­ния — признак формирования свойственного для математика стиля мышления. Моделирование различных алгоритмов в виде

Глава 3. Содержание и технологии развития математических представлений у детей дошкольного возраста

3.1. Общая характеристика содержания математических представлений у детей дошкольного возраста

Только то в человеке прочно и на­дежно, что всосалось в природу его в первую пору жизни.

Я. А. Коменский

Малыши постигают то содержание математической направ­ленности, которое в современной методике развития математи­ческих представлений детей дошкольного возраста именуется предматематикой. Это содержание обеспечивает развитие мыш­ления, освоение логико-математических представлений и спосо­бов познания.

Содержание предматематики направлено на развитие важней­ших составляющих личности ребенка — его интеллекта и интел­лектуально-творческих способностей.

Результатами освоения предматематики являются не только знания, представления и элементарные понятия, но и общее раз­витие познавательных процессов. Способности к абстрагирова­нию, анализу, сравнению, обобщению, сериации и классифика­ции, умение сравнивать предметы и явления, выяснять законо­мерности, обобщать, конкретизировать и упорядочивать являются важнейшей составляющей логико-математического опыта ребенка, который дает ему возможность самостоятельно познавать мир.

Освоенные математические представления, логико-матема­тические средства и способы познания (эталоны, модели, речь, сравнение и др.) составляют первоначальный логико-математи­ческий опыт ребенка. Этот опыт является началом познания ок­ружающей действительности, первым вхождением в мир матема­тики.