Вычисление площадей плоских фигур

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Определим криволинейные трапеции с основаниями на оси ох и оси оу и соответствующие формулы для вычисления их площадей.

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , прямыми , и осью ох, называется криволинейной трапецией (с основанием на оси ох).

Площадь криволинейной трапеции (рис.1) с основанием на оси ох вычисляется по формуле

Рис. 1.

Если , т.е. криволинейная трапеция расположена ниже оси ох (рис.2), то её площадь вычисляется по формуле

.

Рис. 2.

Если для всех выполняется условие , т.е. , то площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций , и прямыми , , (рис.3), вычисляется по формуле

Рис. 3.

Заметим, что одна из прямых (или обе) могут «стягиваться» в точку.

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , прямыми , , , и осью оу, называется криволинейной трапецией (с основанием на оси оу).

Площадь криволинейной трапеции с основанием на оси оу (рис.4) вычисляется по формуле:

Рис. 4.

Если , т.е. криволинейная трапеция расположена левее оси оу (рис.5), то её площадь вычисляют по формуле

Рис. 5.

Если для всех выполняется условие , т.е. , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками непрерывных функций , и прямыми , , (рис.6), вычисляется по формуле

Рис. 6.

Заметим, что одна из прямых (или обе) могут «стягиваться» в точку.

Если плоская фигура не является криволинейной трапецией указанных видов, то её разбивают на криволинейные трапеции прямыми, параллельными оси оу или ох и применяют соответствующие формулы.

Пример:Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Построим линии, ограничивающие фигуру.

– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;1).

– прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси оу.

– аналитическое выражение оси ох.

– аналитическое выражение оси оу.

Рис. 7.

Построенная фигура (рис.7) является криволинейной трапецией с основанием на оси ох, поэтому её площадь вычисляется по формуле

.

, , .

Тогда (кв. ед.).

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Построим линии ограничивающие фигуру.

– прямая; если , то ,

если , то .

Прямая проходит через точки (0; 4), (8; 0).

– прямая, параллельная оси ох.

– прямая, параллельная оси ох.

– ось оу.

Рис. 8.

Фигура (рис.8) является криволинейной трапецией с основанием на оси оу, поэтому .

Тогда

(ед²).

Пример:Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Построим линии ограничивающие фигуру.

- парабола, симметричная относительно оси OY. Т.к. , то вершина .

Координаты вершины также можно определить по формуле

- ось OX.

Найдем координаты точек пересечения графиков (рис.9) функций.

Рис. 9.

Т.о. , на этом отрезке функция , поэтому .

.

Тогда (ед²).

Пример:Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Построим линии, ограничивающие фигуру.

– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;0).

– прямая, если , то ,

если , то .

Найдём точки пересечения линий:

Т.о.

(рис.10).

Рис. 10.

(ед²).