Сложение колебаний

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Кинематика гармонических колебаний.

Сложение колебаний

1.1.1. Краткие теоретические сведения

В природе наблюдается тождественность законов, управляющих колебательными процессами различной природы. В связи с этим при решении задач следует обращать внимание на общие закономерности, которые присущи всем колебательным процессам.

Для математического описания колебаний вводится параметр , характеризующий состояние колеблющейся системы и называемый смещением (возмущением). Для поступательных механических колебаний смещение – линейное отклонение от положения равновесия; для электрических колебаний – отклонение величины заряда; для тел, совершающих вращательное движение, крутильные колебания – угол отклонения от положения равновесия и др. В зависимости от природы колебаний смещение имеет различную размерность.

Система, движение которой есть гармоническое колебание, называется гармоническим осциллятором. Возмущение гармонического осциллятора изменяется по закону синусов или косинусов:

, , (1.1.1)

где А – амплитуда колебания; – фаза колебания; a–начальная фаза колебаний; w – циклическая частота колебаний, равная (Т – период колебаний).

Модуль мгновенной скорости возмущения определяется как производная от возмущения S(t), т. е. . Если и , то

.

Колебательная скорость опережает по фазе возмущение на .

Для поступательных колебаний – колебательная скорость совпадает с обычной механической скоростью; для крутильных колебаний – угловая скорость движения; для электрических колебаний – сила тока.

Модуль мгновенного ускорения для возмущения находится из соотношения: .

Колебательное ускорение опережает по фазе возмущение на p.

Для механических поступательных колебаний – обычное механическое ускорение; для крутильных колебаний – угловое ускорение; для электрических колебаний , где U_L– напряжение на катушке индуктивности колебательного контура.

Величина называется колебательным импульсом осциллятора. Плоскость, на которой по оси абсцисс откладывается величина возмущения , а по оси ординат – величина колебательного импульса р, называется фазовой плоскостью (рис. 1.1.1). Каждая точка плоскости SOP изображает определенное состояние осциллятора с данными значениями S и р.

Рис. 1.1.1.

Фазовая точка с течением времени перемещается по фазовой траектории. Для гармонического осциллятора без затухания уравнение фазовой траектории можно найти, исключив параметр из уравнений: , Уравнение фазовой траектории имеет вид:

.

На фазовой плоскости гармоническое колебательное движение представляется окружностью с радиусом, равным амплитуде колебаний А (рис. 1.1.1).

Рис. 1.1.2.

Гармонические колебания удобно представлять в комплексной форме. При этом считается, что величина возмущения физической системы в любой момент времени представляется действительной частью комплексного возмущения , т. к. , где . Колебания можно представить в комплексной форме, воспользовавшись формулой Эйлера: , где , (см. рис. 1.1.2).

Практическое удобство представления колебаний в комплексной форме состоит в том, что над комплексными величинами можно производить линейные операции (интегрирование, дифференцирование и др.), а затем использовать для дальнейших расчетов действительную часть полученной комплексной величины , имеющую физический смысл (например, амплитуда А, фаза jрезультирующего колебания).

Используя комплексные числа, можно изменить фазу колебания осциллятора путем умножения возмущения на соответствующее число:

1) Изменение фазы колебаний на соответствует умножению на мнимую единицу (i);

2) Изменение фазы на соответствует умножению на (– 1);

3) Изменение фазы на соответствует умножению на (– i).

Рис. 1.1.3.

Колебательное движение можно описывать, используя графическое представление колебаний. Гармоническое колебание (1.1.1) представляется как проекция вектора , вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью w(рис. 1.1.3). Вектор откладывается из произвольной точки О на оси ОХ под углом , равным начальной фазе колебаний. Модуль вектора равен амплитуде колебаний. В момент времени t вектор образует с осью ОХ угол . В результате проекция на ось ОХ равна , что соответствует уравнению колебательного движения (1.1.1)

Для сложения колебаний, происходящих вдоль одной прямой, часто используют графический метод сложения векторов. Амплитуда результирующего колебания определяется по теореме косинусов (рис. 1.1.4):

. (1.1.2)

Рис. 1.1.4.

Вектор образует с осью ОХ угол , который определяет начальную фазу результирующего колебания. Из рис. 1.1.4 видно, что

. (1.1.3)

Вектор вращается с той же частотой ,и результирующее колебание имеет вид:

,

где А и определяются из равенств (1.1.2) и (1.1.3) – соответственно.

При сложении колебаний, происходящих по одному направлению, но с различными частотами и , используя аналогичные рассуждения, можно получить, что амплитуда результирующего колебания А изменяется со временем по закону

. (1.1.4)

Если , а А₀₁= А₀₂= А₀, такое колебательное движение называется биением и описывается уравнением:

. (1.1.5)

Период изменения абсолютного значения амплитуды называется периодом биения; причем .

Если осциллятор участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, то уравнение движения результирующего колебания определяется путем исключения параметра t из системы двух уравнений.