Примеры решения задач. ЗАДАЧА 1.Частица совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ около положения равновесия х = 0

ЗАДАЧА 1.Частица совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ около положения равновесия х = 0. Частота колебаний = 4,00с^–1. В некоторый момент времени координата частицы х₀= 25,0 см и ее скорость
u₀ = 100 cм/c. Найти координату х и скорость частицы u через время t = 2,4 с после этого момента.

ДАНО: = 4,00с–1 х0= 25,0 см u0 = 100 cм/c t1= 2,4 с	СИ   0,25 м 1 м/с
x1 – ? u1 – ?

АНАЛИЗ. Для решения воспользуемся уравнениями кинематики гармонических колебаний.

РЕШЕНИЕ. Закон движения частицы, совершающей гармонические колебания, определяется уравнением (1.1.1):

. (1.1.6)

За начало отсчета времени (t = 0) выберем момент, для которого заданы начальные условия: х₀ = 25,0 см = 0,250 м,u₀= 100 см/с = 1,00 м/с, колеблющейся частицы.

Закон изменения скорости со временем найдем, продифференцировав по времени уравнение (1.1.6):

. (1.1.7)

Уравнения (1.1.6) и (1.1.7) в точке t = 0 с учетом начальных условий имеют вид:

x₀= Acos , u₀= – A sin .

Получили систему из двух уравнений для определения амплитуды А и начальной фазы . Из них найдем:

, (1.1.8)

. (1.1.9)

Уравнения (1.1.8) и (1.1.9) почленно возведем в квадрат и сложим:

.

Амплитуда колебаний А равна:

м.

Правильность формулы по размерности очевидна.

Разделив выражения (1.1.9) на (1.1.8), найдем тангенс начальной фазы колебаний:

.

Учитывая, что ,определим начальную фазу :

a = 180° – 45° = 135° = 3p/4 = 2,35 рад.

Подставив численные значения А и в уравнения (1.1.6) и (1.1.7), получим:

, м; , м/с.

Найдем искомые значения координаты x₁и скорости в момент времени t₁= 2,40 c:

x₁= 0,289 м,u₁= 0,810 м/с.

ОТВЕТ: x₁= 0,289 м,u₁ = 0,810 м/с.

ЗАДАЧА 2. Колебательный контур (рис. 1.1.5) состоит из конденсатора емкостью С = 0,025мкФ и катушки с индуктивностью L = 1,015Гн. Омическим сопротивлением цепи следует пренебречь. Конденсатор заряжен количеством электричества q₀= 2,5×10^–6 Кл. Написать для данного контура уравнения изменения: 1) разности потенциалов U_C на обкладках конденсатора , 2) падения напряжения U_L на катушке индуктивности, 3) силы тока в цепи в зависимости от времени. Найти сдвиг по фазе между напряжением U_С на обкладках конденсатора и: а) током I в цепи, б) напряжением U_L на катушке индуктивности. Найти уравнение фазовой траектории осциллятора.

ДАНО: С = 0,025мкФ L = 1,015Гн R = 0; q0= 2,5×10–6 Кл	СИ 2,5×10–8 Ф
– ?

АНАЛИЗ. В задаче рассматриваются незатухающие колебания в электрическом колебательном LC контуре при отсутствии омического сопротивления. с частотой .

Рис. 1.1.5

РЕШЕНИЕ. Заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону (1.1.1):

. (1.1.10)

Сила тока в контуре

. (1.1.11)

Напряжение на катушке индуктивности найдем, используя закон Фарадея и равенство (1.1.11):

. (1.1.12)

Напряжение на обкладках конденсатора с учетом равенства (1.1.10) имеет вид:

. (1.1.13)

Сравнение выражений для заряда (1.1.10) и напряжения U_C (1.1.13) показывает, что эти величины изменяются в одной фазе.

Закон изменения силы тока (1.1.11) можно представить в виде

. (1.1.14)

Ток I в контуре опережает по фазе на напряжение U_C на обкладках конденсатора. Закон изменения напряжения U_L на катушке индуктивности получим из уравнения (1.1.12):

. (1.1.15)

Сравнение уравнения (1.1.13) с (1.1.15) показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе на напряжение на обкладках конденсатора.

Определим численные коэффициенты в уравнениях (1.1.10), (1.1.13), (1.1.14), (1.1.15). Будем считать, что при t = 0заряд на обкладках конденсатора достигает максимального значения: q = A = q₀ , тогда из равенства (1.1.10) получим = 0. Закон изменения заряда имеет вид: q = q₀сos t, где рад/c.

Закон изменения разности потенциалов U_C на обкладках конденсатора (1.1.13) с числовыми коэффициентами:

, В.

Закон изменения со временем силы тока I c числовыми коэффициентами получим из уравнения (1.1.14):

, A.

Закон изменения напряжения U_L на катушке индуктивности получим из уравнения (1.1.15):

U_L = 2,5×10^–6×1,015×6,28² ×10⁶ cos(2 ×10³t+ ) = 100cos(2 ×10³t+ ),В.

Напряжения U_С на обкладках конденсатора и U_L на катушке индуктивности изменяются в противофазе и имеют одинаковые амплитудные значения.

Чтобы получить уравнение фазовой траектории колебательного контура, воспользуемся уравнением (1.1.10) и (1.1.11). Учтем, что колебательный импульс , тогда:

. (1.1.16)

Исключим параметр t из уравнений (1.1.10) и (1.1.16); учитывая, что =0, найдем:

, (1.1.17)

. (1.1.18)

Равенства (1.1.17) и (1.1.18) возведем в квадрат и почленно сложим:

.

Таким образом, фазовая траектория осциллятора представляет собой окружность.

ОТВЕТ: , В; , В; ; ; , A; уравнение фазовой траектории .

ДАНО А1= 5см А2 = 10см	СИ 5×10–2 м 1×10–2 м
А – ? – ?

ЗАДАЧА 3. Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой и амплитудами А₁= 5см, А₂= 10см и с разностью фаз . Определить амплитуду А и начальную фазу результирующего колебательного процесса.

АНАЛИЗ. В задаче требуется сложить два гармонических колебаний, происходящих в одном направлении, и имеющих разные амплитуды и разность фаз.

РЕШЕНИЕ. Обозначим смещение от общего положения равновесия для каждого из процессов согласно (1.1.1) соответственно:

S₁(t)= A₁cos(w t + a₁), (1.1.19)

S₂ (t)= A₂cos(w t + a₂). (1.1.20)

Для простоты, начало отсчета в момент времени t₀= 0 выберем так, чтобы = 0, тогда . Закон движения точки, участвующий в двух колебательных процессах, определится согласно принципу суперпозиции и уравнениям движения (1.1.19) и (1.1.20):

S (t)= A₁ cosw t + A₂cos(w t+d). (1.1.21)

Поскольку оба колебания – гармонические, имеющие одинаковую частоту wи одинаковое направление, результирующее колебание S (t)тоже является гармоническим и происходит с той же частотой w. Следовательно, закон движения (1.1.21) можно записать в виде

S (t)= A cos(w t+a), (1.1.22)

где А – амплитуда результирующего колебания, a – его начальная фаза. Сравнивая уравнения (1.1.21) и (1.1.22), получим:

A cos(w t + a) = A₁ cos(w t)+ A₂cos(w t+d). (1.1.23)

Уравнение (1.1.23) справедливо для любого момента времени и поэтому является тождеством. Задача состоит в определении неизвестных А и a. Ее можно решить различными методами:

а) аналитическим методом, непосредственно решая это тождество;

б) методом векторного сложения колебаний.

Рассмотрим оба метода. В аналитическом методе используются формулы зависимости между тригонометрическими функциями двух углов. Воспользуемся зависимостью между тригонометрическими функциями двух углов:
cos(a + b)=cosacosb – sinasinb, тогда правую и левую части (1.1.23), можно представить в виде:

А cos(wt)×cosa – A sin(wt)×sina= А₁cos(wt) + A₂cos(wt)×cosd – A₂ sin(wt)× sind.

Полученное уравнение будет тождеством относительно переменной t, если коэффициенты при и sin в левой его части соответственно равны коэффициентам в правой части:

– A sina= A₂sind, (1.1.24)

Аcosa=А₁ + А₂cosd. (1.1.25)

Чтобы найти амплитуду результирующего колебания, возведем (1.1.24) и (1.1.25) почленно в квадрат, а затем сложим:

А²(sin²a + cos²a) = А₂²sin²d + A₁²+2A₁A₂cosd + A₂²cos²d,

отсюда А²= A₁² +А₂²+2A₁A₂cosd.

Следовательно, м. (1.1.26)

Чтобы найти начальную фазу результирующего колебания, разделим (1.1.24) на (1.1.25):

41° = 0,23p. (1.1.27)

При расчете методом векторного сложения колебаний, последние представляются в виде векторов амплитуд и , которые вращаются с угловой скоростью w против часовой стрелки (см. рис. 1.1.4). Вектор амплитуды результирующего колебания равен векторной сумме векторов . Векторное сложение позволяет учесть различие в фазах колебаний (1.1.19) и (1.1.20). Из рис. 1.1.4 следует, что в данной задаче модуль вектора А проще найти, используя теорему косинусов: , т. е. м, что согласуется с результатом (1.1.26).

Угол a наклона вектора к оси ОХ, как следует из диаграммы на рис. 1.1.4, равен 41°, что также согласуется с полученным выше результатом (1.1.27).

Таким образом, результирующий колебательный процесс происходит с частотой wи описывается законом (1.1.22), где А и a определяются из равенств (1.1.26), (1.1.27) – соответственно, т. е. S(t)= 0,13cos(w t + 0,23p) , м.

ОТВЕТ: м; .

ЗАДАЧА 4. Точка одновременно участвует в n гармонических колебаниях одинаковой частоты w, направленных по одной прямой:

; ; ;...

. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

ДАНО: ; i = 1, 2, 3, ... n

А – ? a– ?

АНАЛИЗ. В задаче требуется сложить n гармонических колебаний, имеющих одинаковую частоту w. При решении необходимо использовать метод векторного сложения колебаний.

РЕШЕНИЕ. Закон движения точки, участвующей в п колебаниях, имеет вид:

S(t) = A cos (w t + a). (1.1.28)

Начертим соответствующую векторную диаграмму, для определенности считая, что п = 4.

Рис. 1.1.6

Из рис. 1.1.6. видно, что проекция A_x результирующего вектора на ось ОХ равна алгебраической сумме проекций векторов отдельных колебаний:

. (1.1.29)

Проекция А_у результирующего колебания вектора на ось OY определяется как

. (1.1.30)

Амплитуда результирующего колебания А равна:

. (1.1.31)

Подставим (1.1.29) и (1.1.30) в окончательную формулу (1.1.31), учитывая при этом, что , а .

В результате получим .

Начальная фаза результирующего колебания определится из рис. 1.1.6: .

ДАНО: x = Acos2,1t×cos50,0t, м

ТБ – ?

ОТВЕТ: ; . ЗАДАЧА 5. При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание имеет вид: x = Acos2,1tcos50,0t, м, где t измеряется в секундах. Найти частоты складываемых колебаний и период биений.

АНАЛИЗ. В задаче требуется сложить два гармонических колебания одного направления, имеющих разную круговую частоту w.

РЕШЕНИЕ. Амплитуда рассматриваемого колебания x = Acos2,1t×cos50,0t изменяется со временем по закону:

. (1.1.32)

При сложении колебаний, происходящих по одному направлению с различными частотами w₁ и w₂, возникает колебательное движение, называемое биением ( ). Частота пульсаций амплитуды называется частотой биений. Амплитуда – величина существенно положительная. Следовательно, период биений равен промежутку времени, за который аргумент косинуса изменяется на p, т. е. согласно (1.1.32):

2,1Т_Б = p, с. (1.1.33)

При сложении колебаний разной частоты x₁= A₀cosw₁t и x₂= A₀cosw₂t, если их амплитуды равны, а ,уравнение результирующего колебания опишется равенством (1.1.5):

,

а его амплитуда согласно (1.1.4) имеет вид: .

Сравним эти выражения с уравнением биений x = Acos2,1t×cos50,0t. Получим А = 2А₀,т. е. ,

, (1.1.34)

. (1.1.35)

Из системы уравнений (1.1.34) и (1.1.35) найдем значения частот

w₁= 47,9 с^–1, w₂= 52,1 с^–1.

Следовательно, биение x = A₀cos2,1tcos50,0t с периодом Т_Б= 1,5 свозникло в результате сложения колебаний с амплитудами , и частотами w₁= 47,9 рад/с, w₂= 52,1 рад/с. Их уравнения с числовыми коэффициентами имеют вид:

; .

ОТВЕТ: w₁= 47,9 с^–1, w₂= 52,1 с^–1; Т_Б= 1,5 с.

ЗАДАЧА 6. На вертикально отклоняющие пластины конденсатора подается напряжение , на горизонтально отклоняющие – напряжение . Определить траекторию луча на экране осциллографа.

ДАНО: , В , В

АНАЛИЗ. В задаче необходимо произвести сложение двух гармонических колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных плоскостях X и Y. Суммарное колебание будет одной из кривых Лиссажу, изображаемых на экране осциллографа.

РЕШЕНИЕ. Уравнение колебаний для величины напряжения U на пластинах конденсатора в общем виде можно записать, учитывая (1.1.1):

U_x = A₁cos(w₁ t + a₁), U_y = A₂ cos(w₂t + a₂).

В данной задаче А₁= 2В, рад/с, А₂= 1В, рад/с, ,

т. е. . Уравнения колебаний с числовыми коэффициентами имеют вид:

(1.1.36)

. (1.1.37)

Амплитуда – величина существенно положительная и наличие знака «минус» в уравнении (1.1.37) определяется начальной фазой a₂этого колебания. Воспользовавшись формулой приведения – cospt = cos(pt + p), получим
a₂ = p. Напряжение на вертикальных пластинах опережает по фазе на pнапряжение на горизонтальных пластинах.

Чтобы определить траекторию луча на экране осциллографа, необходимо из уравнений (1.1.36) и (1.1.37) исключить параметр t (время). Поскольку по условию задачи , воспользуемся формулой для косинуса половинного угла . Полученное значение подставим в уравнение (1.1.36), найдем , отсюда , .

Подставим полученное выражение в уравнение (1.1.37):

, (1.1.38)

Рис. 1.1.7

или . (1.1.39)

Уравнение (1.1.39) – это уравнение параболы, ось которой лежит на оси ОY. Амплитуда колебаний по оси OХ U_х = 2 В, по оси ОY – 1 В. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах , а ординаты .

Для графического построения траектории воспользуемся уравнением (1.1.38) и найдем соответствующие координаты точек.

Парабола на рис. 1.1.7. построена по найденным в табл. 1.1 координатам.

Таблица 1.1

Ux					–	– 1	– 2
Uy		1/2		– 1		1/2	– 1

В начальный момент времени ( ) напряжение на горизонтально и вертикально отклоняющих пластинах конденсатора равно В, В (точка А на графике). Точка начинает колебание из положения А и за время с совершит полное колебание по оси ОY, когда дойдет до точки С. Затем она начнет двигаться в обратном направлении. Полное колебание по оси ОY точка совершит за время с и вновь вернется в точку А. Когда точка совершит одно полное колебание по оси ОY, она совершит половину полного колебания по оси ОX, т. к. с, Т₂ = 2 с.

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 7. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями , (смещения даны в см). Найти уравнение траектории точки. Показать на чертеже направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент
t = 0,5 с.

ДАНО: , см , см t = 0,5 с

АНАЛИЗ. В задаче рассматривается сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний, одно из которых опережает по фазе другое на величину . Требуется определить кинематические характеристики в заданный момент времени t = 0,5 с.

РЕШЕНИЕ. Уравнения колебаний согласно условиям задачи имеют вид: , (1.1.40)

. (1.1.41)

Колебание (1.1.41) опережает по фазе колебание (1.1.40) на , т. к. . Исключив из уравнений (1.1.40) и (1.1.41)параметр t, получим уравнение траектории: .

Это каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 2 см и
b = 1 см (рис. 1.1.8).

Чтобы определить направление движения точки, учтем, что в момент
t = 0, x = 0 (уравнение 1.1.40), а см (уравнение 1.1.41). Следовательно, точка находится в положении А. При возрастании t увеличивается x, а уменьшается по абсолютной величине (точка движется против часовой стрелки).

Рис.1.1.8

Скорость точки при ее движении по эллипсу равна . Модуль скорости для взаимно перпендикулярных колебаний: ; аналогично для модуля вектора ускорения получим . Учитывая (1.1.40) и (1.1.41), найдем: , (уравнение 1.1.5).

Тогда , . Модуль вектора скорости:

.

Модуль вектора ускорения:

.

В момент времени t = 0, численные значения скорости u= 3,14 см/c, ускорения – а = 19,7 см/с².

ОТВЕТ: ; u= 3,14 см/c; а = 19,7 см/с².