Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Составное (сложное) движение точки

Читайте также:
  1. Breakpoints (точки прерывания)
  2. III. Когда выгодно рассматривать движение из движущейся системы отсчета (решения двух задач учителем)?
  3. Ordm;. Векторный способ задания движения точки.
  4. Ordm;. Связь между составляющими движениями в сложном движении материальной точки.
  5. Ordm;. Скорость и ускорение точки в круговом движении.
  6. VI. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
  7. XII. Назначение и продвижение чиновников
  8. А. Движение крестьян и работных людей в 30—60-е годы XVIII в.
  9. А. Перемещением точки
  10. А. Рабочее движение в конце XIX в. Морозовская стачка (1885 г.)

 

 

Составное движение точки - это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях.

Рассмотрим тело А (рис. 28), которое свободно движется по отношению к неподвижной системе координат О1x1y1z1. Пусть точка М совершает движение по поверхности этого тела. Через произвольную точку О движущегося тела проведем неизменно связанные с этим телом оси x, y, z. Систему осей Оxyz называют подвижной системой отсчета.

Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называют абсолютным движением точки.

Абсолютное движение точки характеризуется изменением радиуса-вектора по модулю и направлению.

Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки и обозначают и .

 

Рис. 28

 

Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением точки. Относительное движение характеризуется изменением только радиуса-вектора при неизменных радиусах-векторах и . В этом случае координаты х, у, z точки М в подвижной системе отсчета будут изменяться.

Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .

Движение подвижной системы отсчета Оxyz и неизменно связанного с ней тела А по отношению к неподвижной системе отсчета О1x1y1z1 является для точки М переносным движением. Переносное движение точки М характеризуется изменением радиусов-векторов и по модулю и направлению при неизменном только по модулю радиусе-векторе .

Скорость и ускорение той точки тела А, с которой в данный момент совпадает точка М, называют переносной скоростью и переносным ускорением точки М и обозначают и .

Желая изучить относительное движение точки, следует мысленно остановить переносное движение. Если необходимо изучить переносное движение точки, то надо мысленно остановить относительное движение и рассмотреть далее движение точки по формулам кинематики точки в абсолютном движении.

Если точка М участвует в составном движении, то имеют место следующие теоремы:

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей точки, т. е.



 

= + ;

 

абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова (поворотного) ускорений этой точки, т. е.

 

= + + ,

или

= + + + + .

 

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки, т. е.

 

= 2 × ( ´ ).

 

Следовательно, модуль этого ускорения

 

= 2 × wпер × Vотн × sin a,

 

где a - угол между векторами и .

Чтобы найти направление кориолисова ускорения точки М, достаточно в точке М построить векторы и и восстановить из этой точки перпендикуляр к плоскости, в которой лежат эти векторы и . Вектор направлен по этому перпендикуляру так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца этого вектора, видел поворот вектора на угол a против хода часовой стрелки до совмещения его с вектором (рис. 29).

 

 

Рис. 29

Направление вектора можно определить и другим способом (правило Н. Е. Жуковского).

Проведем через точку М плоскость П, перпендикулярную к вектору и спроецируем относительную скорость на эту плоскость. Если полученную проекцию повернем в плоскости П на 90° вокруг точки М в направлении переносного вращения, то получим направление вектора .



 

Указания. Задача К3 – на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t1 = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении.

 

Рассмотрим два примера решения этой задачи.

Пример К3а. Пластина OEAB1D (OE = OD, рис. К3а) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону s = = f2(t) (положительное направление отсчета s – от A к B).

Дано: R = 0,5 м, j = t2 - 0,5t3, s = p×R×cos(pt/3) (j - в радианах, s - в метрах, t - в секундах). Определить: и в момент времени t1 = 2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

= + ,

 

= + + , (58)

где, в свою очередь,

 

= + , = + .

 

 

Рис. К3а

 

Определим все входящие в равенства (58) величины.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону

 

s = = p×R× cos(pt/3). (59)

 

Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t1. Полагая в уравнении (59) t1 = 2 с, получаем

 

s = p×R× cos(2p/3) = - 0,5pR.

 

Тогда

 

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t1 = 2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К3а в этом положении (точка В1).

Теперь находим числовые значения , , :

 

,

 

,

где rотн – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t1 = 2 с, учитывая, что R = 0,5 м, получаем

 

м/с,

 

м/с2, м/с2. (60)

 

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону; вектор направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К3а.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = t2 – 0,5×t3. Найдем сначала угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:

 

= 2×t – 1,5×t2, = 2 – 3×t;

 

и при t1 = 2 с

w = – 2 c–1, e = – 4 с–2. (61)

 

Знаки указывают, что в момент t1 = 2 с направления w и e противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К3а.

Для определения и находим сначала расстояние h1 = OB1точки B1 от оси вращения О. Из рисунка видно, что h1 = 2R× = 1,41 м. Тогда в момент времени t1 = 2 с, учитывая равенства (61), получим

 

Vпер = |w|×h1 = 2,82 м/с,

 

= |e|×h1 = 5,64 м/с2, = w2×h1 = 5,64 м/с2. (62)

 

Изображаем на рис. К3а векторы и с учетом направлений w и e и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле акор = 2× |Vотн| × |w| × sin a, где a – угол между вектором и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . Численно в момент времени t1 = 2 с, так как в этот момент |Vотн| = 1,42 м/с и |w| = 2 с-1, получим

 

акор = 5,68 м/с2. (63)

Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении w, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. К3а. (Иначе направление можно найти, учтя, что = 2×( ´ ).

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (58) векторов найдены и для определения Vабс и аабс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение Vабс. Проведем координатные оси В1ху(см. рис. К3а) и спроектируем почленно обе части равенства = + на эти оси. Получим для момента времени t1 = 2 с:

 

Vабс х = Vотн х + Vпер х = 0 - |Vпер| × сos 45° = - 1,99 м/с,

 

Vабс у = Vотн у + Vпер у = |Vотн| + |Vпер| × сos 45° = 3,41 м/с.

 

После этого находим

м/с.

 

Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение Vабс можно еще определить по формуле

 

м/с.

 

5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений

 

= + + + + . (64)

 

Для определения спроецируем обе части равенства (64) напроведенные оси В1ху. Получим:

 

аабс х = + акор + × cos 45° - | |× cos 45°,

 

аабс y = × cos 45° + | |× cos 45° - | |.

 

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t1 = 2 с, найдем, что в этот момент

 

аабс х = 9,74 м/с2; аабс y = 7,15 м/с2.

 

Тогда

 

м/с2.

 

Ответ: Vабс = 3,95 м/с, аабс = 12,08 м/с2.

Пример К3б. Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f2(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано: j = 0,1× t3–2,2× t, s = АВ = 2 + 15× t – 3×t2; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: Vабс и аабс в момент времени t1 = 2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

= + , = + + , (65)

 

где, в свою очередь, = + .

Определим все входящие в равенство (65) величины.

1. Относительное движение - это движение прямолинейное и происходит по закону

s = AB = 2 + 15t - 3t2, (66)


Дата добавления: 2015-04-15; просмотров: 18; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Кинематика плоскопараллельного движения твердого тела | поэтому
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.023 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты