Примеры 1 страница

А-фигур В-фигур

Рис. 9

перед ними отдельные фигуры или пары А- и B-фигур. В этих парах фигур один из членов пары, B-фигура, не имеет осмысленного A-решения, тогда как для A-фигуры возможно A-решение. Некоторым детям кажется, что А- и B-фигуры не отличаются друг от друга. Все они являются новыми. «Откуда нам знать!» — вот их позиция. Они либо никак не реагируют, либо если и реагируют, то не дифференцируют А- и B-фигуры, проводят вспомо­гательные линии и отвечают наугад.

Другие же последовательно решают A-задачи и иногда через короткое время отвергают B-задачи со словами: «Этого я не могу сделать, я не знаю, чему равна пло­щадь», или даже: «Я не знаю, какова площадь этих не­больших остаточных элементов». В отличие от этих слу­чаев в A-случаях площадь остатков, как правило, не упо­минается; или же ребенок говорит: «Я, конечно, не знаю

площади этих маленьких фигур, но, поскольку они рав­ны, это не имеет значения».

Рис. 10

7. В приводимых здесь фигурах A-фигуры, если рассматривать их по частям, сильнее отличаются от перво­начальной фигуры, чем B-фигуры. Поэтому простая ссыл­ка на «знакомость», очевидно, не может служить объясне­нием позитивных реакций — решения в A-случаях и отка­за от решения в B-случаях.

Наши наблюдения в опытах с А — B-парами уже со­держали примеры экспериментального анализа. Хотя за­дача кажется достаточно простой, на классных занятиях иногда встречаешься с глупыми ответами.

8. На следующем этапе экспериментального анализа вместо одной фигуры давались два подвижных твердых тела. Они могли быть отделены или примыкать друг к другу в различных положениях:

А

Рис. 11

И в этом случае возможны — и иногда встречаются глупые ответы.

9. Для того чтобы уяснить возникающие здесь теоре­тические вопросы, полезно рассмотреть крайние случаи. Рассмотрим следующую глупую реакцию.

Рис. 12 Рис. 13

Ученика учат доказательству теоремы о площади па­раллелограмма с помощью фигуры, начерченной на мил­лиметровой бумаге. Проводятся дополнительные линии. Сторона а оказывается равной 5 дюймам, длина отрезка с равна 3 дюймам.

Учитель говорит: «Посмотри! Из каждого верхнего уг­ла я опускаю перпендикуляр длиной в 4 дюйма; я про­должаю линию основания вправо на 3 дюйма, ты можешь ее измерить».

Через некоторое время дается другой пример — парал­лелограмм с другими размерами. Допустим, что ученик отвлекся, возможно, на экспериментатора, или подумал о предстоящей игре или о том, где сейчас находится его мама; допустим, что он повторяет про себя: «Четыре дюй­ма вниз, три дюйма вправо» — и робко чертит фигуру, по­казанную на рис. 13.

Когда его спрашивают, удалось ли ему достигнуть це­ли— определить площадь, он отвечает: «Нет», но пока что не может продвинуться дальше. Сам я не сталкивал­ся с таким ответом, но он вполне возможен. Как известно учителям, так происходит в случаях более сложных струк­тур.

Очевидно, что это крайний случай B-реакцпи — слепое, игнорирующее контекст подражание тому, что делал учи­тель. Каждому понятно, чем плохо такое подражание. Но что оно означает с теоретической точки зрения? Мож­но сказать: «Этот ребенок не смог должным образом при-

менить выученный материал к новой ситуации». Но что значит применить «должным образом»?

Или можно сказать: «Ясно, что в этом случае отсут­ствует обобщение» — и покончить с проблемой как с ре­шенной. Но решена ли она действительно? А как быть с глупыми обобщениями, которые остаются тем не менее обобщениями? А что если ребенок обобщит описанный выше пример так (правда, я не встречал таких случаев): «Перпендикуляры должны быть на один дюйм длиннее продолжения основания», или: «Длина перпендикуляра должна выражаться четным числом» и т. д. — и что если он будет соответствующим образом действовать?

Признание того, что здесь имеет место обобщение, не означает решения проблемы. Конечно, здесь имеет мес­то обобщение, но оно происходит в обоих случаях. Часто указание на обобщение не является ответом на вопрос, ско­рее оно скрывает проблему.

10. Что же действительно происходит в А — В-реакци­ях, в А — B-случаях? Я получил характерные данные: встречаются разумные реакции, когда испытуемый отка­зывается слепо применять заученный материал к B-проблемам и находит разумные, правильные решения в A-случаях, меняя обычную процедуру, как того требует здра­вый смысл. И встречаются слепые реакции, когда испытуемые не могут решить А- или B-задачу или тупо применяют заученные приемы ¹.

Если испытуемый применяет заученный прием к ва-

¹ В действительности бессмысленные построения в примерах, приведенных на с. 47, встречаются сравнительно редко. Дети со спонтанной естественной установкой не склонны вести себя по­добным образом. Привычка к бездумному подражанию, развивае­мая в некоторых школах благодаря упору на слепое натаскивание, по-видимому, способствует таким реакциям; то же можно ска­зать о ситуациях, когда такую установку создают рассеянность, отвлекаемость или другие индивидуальные особенности. В школах, ориентируемых на механические упражнения, часто формируется установка при столкновении с новой задачей ждать, что покажут готовое решение; когда ученика просят попробовать решить задачу самостоятельно, часто сталкиваются лишь с пассивным отказом: «Мы этого не проходили».

То, что психолог испытывал какое-то беспокойство на уроке (см. с. 42), означает, что он почувствовал эту атмосферу натаски­вания, царящую в классе. Описанное нами поведение, по-видимому, тесно связано с установкой на повторение, на слепое подражание учителю: обычно маленьких детей не слишком смущает простран-

риации первоначальной задачи, не сознавая, что в данном случае он неуместен, то это свидетельствует о непонима­нии самого приема или о неспособности понять, что яв­ляется существенным в измененной задаче. Но если он адекватно и последовательно ведет себя в A-случаях, даже когда отдельные части измененной задачи сильно отли­чаются от первоначальной, и если он в то же время отка­зывается применять заученный прием к более близким B-вариациям, то это значит, что он действительно понял задачу. Таким образом, А — B-вариации при системати­ческом исследовании могут служить основой «операцио­нального определения» понимания. И с помощью А — В-метода в ходе экспериментального анализа могут быть ис­следованы различные структурные факторы.

В чем состоит основное различие между этими двумя типами реакций на вариации? В чем с психологической точки зрения заключается проблема? Как испытуемый ищет A-решения? Каким образом он различает А- и B-процедуры?

Во-первых, можно сказать: «Различие очевидно. B-реакции в отличие от А -реакций не ведут к правильному решению». Но это утверждение лишь ставит проблему, а не решает ее.

Во-вторых: «Решающее значение имеет степень сход­ства с первоначальной задачей». Нет. Сходство действи­тельно играет роль. Но какое сходство? Если рассматри­вать отдельные части, то окажется, что B-случаи часто ближе к первоначальной задаче, чем A-случаи.

В-третьих: объясняется ли суть дела «обобщением»? Нет. Конечно, во всех этих случаях имеет место обобще­ние, но, как было уже сказано, с глупой B-реакцией мо­жет быть связана такая же степень обобщения, как и с A-реакцией. Таким образом, обобщение само по себе ни­чего не объясняет. Ссылка на обобщение может, конечно, оказаться полезной, если мы будем говорить о «правиль-

ственное расположение фигур (см.: Stern W. Über verlagerte Ra­umformen. — "Zeitschrift für Angewandte Psychologie", 1909, Vol. 2, S. 498-526).

Встречаются и взрослые, которые в дальнейшей жизни сохра­няют приобретенную привычку к слепым, механическим действи­ям. Удивительно, как образованные и в других отношениях вполне разумные люди иногда ведут себя в сходных ситуациях, особенно в случае «Einstellung» (установка), (см. главу 4, раздел 3, а также главу 6 и приложения 2, 3 и 4).

но выбранном обобщении». Но что мы должны понимать под этим уточнением? То, что оно ведет к решению? Это опять напоминает первое утверждение.

В-четвертых, положение дел не изменится, если ска­зать (правильно), что различные A-случаи характеризу­ются тем, что «схватываются» существенные отношения, схватывается то, что действительно релевантно. Но что означает такое «схватывание»? Что такое «существенные элементы»? Как определить, что существенно, а что нет? Только по результату?

Теоретические предположения 2, 3 и 4 не позволяют удовлетворительным образом дифференцировать А- и B-реакции. Только первое предположение дифференцирует случаи, но лишь по результату. Ни одно из этих предпо­ложений само по себе не ведет к психологическому пони­манию.

Я предлагаю читателю подумать над этим. Не удов­летворяйтесь поверхностными решениями. Я думаю, что если вы непредубежденно рассмотрите эти примеры, то найдете ответ. Возможно, он будет вертеться у вас на кончике языка, а вы не сможете выразить его никакими словами. Здесь я прерву свой анализ и вернусь к нему несколько позднее.

II

11. Под влиянием сильного впечатления от странного поведения некоторых школьников психолог снова присту­пает к более тщательному рассмотрению проблемы.

Как и в описанном случае, я часто удивлялся поведе­нию некоторых классов во время урока. Обычно ученики покорно следят за этапами доказательства, которое демон­стрирует им учитель. Они повторяют, заучивают их. Со­здается впечатление, что идет «обучение». Ученики обуча­ются? Да. Мыслят? Возможно. И в самом деле понимают? Нет.

Для прояснения дела была попробована следующая экспериментальная процедура.

Сейчас я скажу нечто странное, даже дикое. Видите ли, по теоретическим основаниям психолог вынужден иногда применять методы, которые для него самого не яв­ляются приятными.

Вместо того чтобы воспользоваться обычным разумным методом определения площади параллелограмма, учени-

кам говорят: «Для определения площади параллелограм­ма следует измерить стороны — назовем их а и £ тить на основании точку, расположенную прямо под верх­ним левым углом; затем измерить расстояние между левой

Рис. 14

вершиной и этой точ­кой — назовем его с. На нашем чертеже а = 5 дюймов, b = 9 дюймов, с = 3 дюйма. Теперь сложите а и с! (а+с... 5+3 = 8)

Вычтите с из а! (а — с...5-3=2). Перемножьте ре­зультаты! (...8X2=16)

Из произведения извлеките квадратный корень! Вы учили, как это делать (... √ 16=4)

Умножьте результат на b, и вы получите площадь... (... 4X9=36)

___________

Формула площади параллелограмма b√(a+c) (а—с)».

Процедура уродлива и никогда не придет в голову разумному учителю или математику. Это психологу по­требовалось ввести такой громоздкий, некрасивый и бес­смысленный метод. Но он ведет к правильному результату.

Обычно такая процедура кажется детям странной неестественной, — нельзя не заметить, что они время от времени выключаются из работы. По окончании доказа­тельства одни смотрят на учителя с плохо скрываемым презрением. Другие сбиты с толку или смеются.

Важно то, что в некоторых школах нельзя обнаружить существенной разницы между реакцией учеников на та­кое доказательство и реакцией на разумный метод. Если вы обнаружите, что ученики покорно проглатывают такую процедуру и никак не реагируют на нее, обратите внима­ние на характер их обучения! Думаю, что в нем есть что-то порочное. И я надеюсь, что если вы проделаете такого рода опыты, ваши ученики громко рассмеются или по крайней мере будут весьма смущены. В таких случая) особенно трогательно видеть, с каким упорством, с какой готовностью ученики иногда стремятся повторять слова учителя, как гордятся, если им удается точно воспроиз­вести заученное, решить задачу именно тем способом, ко­торому их учили. Для многих в этом и состоит преподава-

ние и обучение. Преподаватель учит «правильной» про­цедуре. Ученики заучивают ее и могут применить ее в рутинных случаях. Вот и все.

Пусть читатель задумается, не учили ли и его самого в школе таким же образом. Разве не таким способом вас обучали дифференциальному и интегральному исчисле­нию? Или даже теоремам планиметрии и стереометрии? Конечно, у вас были веские основания считать, что учи­тель обучает вас разумным, серьезным вещам, которые необходимо знать. Да и что бы вы могли сделать, как не подчиниться и покорно следить за шагами доказательства учителя, если не понимали, почему он предпринимает именно этот, а не иной шаг? Помогало ли вам покорное следование за учителем, когда вы сбивались с пути?

Полагаю, вы согласитесь, что не помогало. Я не удив­люсь, если вы добавите, что, раз учитель действовал таким образом, значит, он, очевидно, действовал правильно, что, вероятно, не было другого пути. Или вы можете возра­зить: «Нельзя сравнивать этот дикий пример с обычным обучением, в ходе которого учитель излагает разумные вещи и их доказательства».

Ваше последнее замечание совершенно справедливо. В нашем примере не хватает доказательства — этого упу­щения, между прочим, некоторые ученики не замечают. Для того чтобы прийти к правильному решению, нам ну­жен пример, включающий доказательство. Мы рассмотрим этот вопрос в пункте 17.

12. Но давайте сначала закончим наш рассказ. Я спро­сил у класса: «Уверены ли вы в том, что этот результат действительно правилен?» Большинство учеников были просто ошеломлены этим вопросом, удивлены, что он мо­жет быть задан. Их позиция была ясна: «Как вы можете подозревать, что мы сомневаемся в ответе, который вы нам дали?» Вопрос показался им странным, он затрагивал самую суть того, что значили для них школа, преподава­ние и обучение. Ответа не было. Класс молчал.

Я изменил свой вопрос и дружески спросил: «Может ли кто-нибудь из вас показать, что полученный таким образом ответ действительно верен?»

Маленький М. поднял руку. Он казался весьма сообра­зительным и ответил: «Я знаю, как это доказать. Это очень просто. Мы установили, что площадь этого парал­лелограмма равна 36 квадратным дюймам. Я могу выре­зать параллелограмм из жести, положить его на одну ча-

шу точных весов, а на другую положить прямоугольник, площадь которого известна и равна 36 квадратным дюй­мам, — держу пари, они уравновесят друг друга».

«Да, они могут уравновесить друг друга, но можете ли вы показать, что так будет всегда?»

«Отчего же, могу, — ответил он. — Я могу повторить эту процедуру с различными параллелограммами».

То, что сказал этот мальчик, характерно для многих случаев мышления. Теперь у него есть слепая процедура плюс способ проверки с помощью взвешивания. И это все; и он вполне удовлетворен. Эта познавательная операция, так называемая индукция, сама по себе превосходная вещь, она часто необходима и в некоторых отношениях играет важную роль в современных эмпирических науках. Вместе с тем в соединении со слепой и, следовательно, дикой процедурой она не является для настоящего мыс­лителя ни действительным решением, ни конечным ре­зультатом. Хотя современная наука часто и основывается на индукции, она не останавливается на ней. Она продол­жает поиски лучшего понимания. (Приведем в качестве примера открытие Менделеева ¹.)

¹ В начале XIX в. английский химик Уильям Праут заметил, что атомные веса химических элементов приблизительно кратны весу атома водорода, и высказал предположение, что водород явля­ется materia prima. На основании этой гипотезы де Шанкуртуа заявил в 1862 г., что свойства химических элементов определя­ются числами. В 1871 г. Менделеев опубликовал свою знаменитую периодическую таблицу классификации химических элементов, в которой все элементы были расположены в восьми вертикальных и семи горизонтальных рядах. Это позволило ему показать, что свойства химических элементов, в частности их валентность, из­меняются в соответствии с изменением их атомного веса. Таким образом, атомный вес Менделеев рассматривал как фундаменталь­ную, важнейшую характеристику элементов. Это подтверждалось тем, что он мог предсказывать открытие неизвестных элементов, которые были необходимы для заполнения пустых мест в его таб­лице, исходя из соображений, основанных на периодичности и на регулярном возрастании атомного веса химических элементов.

Хотя классификация Менделеева была представлена им как чисто эмпирическое обобщение, она ясно указывала на фундамен­тальное единство материи.

В 1913 г., основываясь на атомных теориях Резерфорда и Бора, молодой английский ученый Мозли доказал, что именно числом атомов водорода, образующих атом данного элемента, или, точнее, числом протонов и, следовательно, электронов — атомным номером, а не атомным весом объясняются химические свойства элементов.

Так эмпирическое обобщение превратилось в конечном счете в дедуктивную теорию. — Прим. редактора амер. издания.

Будучи важным инструментом на своем месте, индук­ция сама по себе является скорее началом, а не концом. Но в данном случае она незаконна даже как начало, по­скольку не является необходимой и не связана с сущест­вом дела.

13. Рассмотрим для пояснения другой пример. Учитель демонстрирует классу, как определять площадь паралле­лограмма, проводя дополнительные линии, перенося тре­угольники слева направо и показывая в итоге, что пло­щадь равна произведению основания на высоту. В этом примере я предложил учителю использовать параллело­грамм, одна сторона которого, а, равнялась 2,5 дюйма, а другая, b — 5 дюймам. Была измерена высота h, кото­рая оказалась равной 1,5.

Затем я предложил другие задачи, указывая в каждом случае величину сторон а и b; высота измерялась, и сле­довало определить площадь параллелограмма:

Ученики решали эти задачи, испытывая некоторые труд­ности с умножением.

Вдруг один мальчик поднял руку. Глядя на тех, кто еще не кончил вычисления, с некоторым превосходством, он выпалил: «Глупо заниматься умножением и измере­нием высоты. Я нашел лучший метод определения пло­щади— он очень прост. Площадь равна а+b».

«Можешь ли ты как-нибудь объяснить, почему пло­щадь равна а+b?» — спросил я.

«Я могу доказать это, — ответил он. — Я вычислил пло­щадь во всех случаях. Зачем ломать голову, умножая b на h? Площадь равна а+b».

Тогда я дал ему пятую задачу: а=2,5; b=5; высо­та = 2. Мальчик начал считать, пришел в смятение, а за­тем, довольный, сказал: «В этой задаче сложение не дает

площади. Прошу прощения; а было бы здорово!»

«В самом деле?» — спросил я.

Это может служить примером слепого открытия, сле­пой индукции. Осмелюсь утверждать, что ни один разум­ный математик не одобрит столь очевидно бессмысленную индукцию. Он прибегнет к ней только в том случае, если исследуемый вопрос настолько темен, что не приходит в голову никакая идея о возможной разумной внутренней связи.

Могу добавить, что настоящая цель этого «нечестного» эксперимента, который, как вы видели, вполне удался, за­ключалась не просто в том, чтобы навести на ложный путь. Посетив этот класс раньше, я заметил, что в поверх­ностном обращении учеников с методом индукции кроется реальная опасность. Я хотел, чтобы эти ученики — и их учитель — ясно почувствовали рискованность такого отно­шения.

Можно, конечно, сказать, что мальчик ошибся в своей гипотезе просто потому, что она не была универсальной, потому, что она была обобщением, основанным лишь на небольшом числе случаев. Но это значит не понять сути дела. Предложенное равенство — площадь = а+b— бес­смысленно, потому что ничего не говорит о внутренней связи между площадью и а+b, о том, почему оно может оказаться разумным хотя бы в одном — единственном случае, поскольку не существует внутренней связи между ними.

14. Приведу еще более простой пример. Вы спрашивае­те ученика:

1) 12=3 умноженное на сколько? Ответ: 4.

2) 56 = 7 умноженное на сколько? Ответ: 8.

3) 45 = 6 умноженное на сколько?

Предположим, что ученик ответил на третий вопрос: «Семь». И когда вы спросили его, почему он так думает, он сказал: «Разве это не очевидно? Четвертая цифра на единицу больше третьей:

1) 12 3 4

2) 56 7 8

3) 45 6 7».

Разве здесь существенно, что ученик основывал свою «гипотезу» на очень малом числе случаев? Нет. Сама ги­потеза нелепа: увеличение чисел в этом случае не имеет никакого отношения к структуре ситуации, к требовани­ям ситуации, к соединению знаком равенства, к смыслу чисел, расположенных слева, к смыслу знака умножения

в правой части. Оно не связано с теми структурными свойствами, которые обусловливают требования к разумно­му решению или осмысленной гипотезе.

15. Теперь мы приведем дополнительные примеры ди­ких процедур, ведущих к правильному ответу. Ошибоч­ным здесь является не отсутствие доказательства, а то, что ни один из шагов этой процедуры не имеет разумной связи с заданием.

Как определить площадь прямоугольника:

I II

16. Я выбрал искусственные примеры для того, чтобы объяснить суть дела, но подобные вещи случаются и без вмешательства психолога.

Ребенок в школе заучивает вместе с сопутствующими упражнениями формулы для периметра, 2(а+b), и для площади, а ּ b, прямоугольника.

Спустя некоторое время ему предлагаются задачи, тре­бующие вычисления площади прямоугольников в контек­сте решения более широких задач. Ему приходит на ум формула 2(а+b), и он ошибочно использует ее, даже не подозревая об этом.

Либо он старается вспомнить формулу площади. Он может даже пытаться вспомнить страницу учебника, на которой встречается эта формула, и действительно вспо­минает эту страницу, но формула все же не приходит в голову. Он теряется, смотрит на результат соседа, заме­чает, что найденная площадь равна 25 при сторонах а и b, равных соответственно 10 и 2,5. «Понятно! — говорит он себе. — Теперь я вспомнил, как это делается: 10+2,5= 12,5, умножить это на 2, получается 25; 2(а+b)» — успо­каивается и энергично решает таким способом следующие задачи, получая неверные результаты, но даже не зная об

этом. (Может случиться, что в следующей задаче а=12, b=2,4; так что, взглянув для проверки на результат сосе­да, он убедится в своей правоте.) Ему даже не придет в голову проверить, годится ли вообще в данном случае эта формула. Однако, если бы ученик смело приступил к ре­шению задачи, он, может быть, и сумел бы восстановить самостоятельно даже забытую формулу.

Итак, является ли решающим только то обстоятельст­во, что ученик получил неправильный результат, что его формула не имела общего значения? Для того чтобы за­острить вопрос, представим себе следующую фантастиче­скую ситуацию. Задача вполне может быть решена ма­шиной, которая разрезает прямоугольник на мелкие квад­раты. Вы опускаете прямоугольник в щель, машина начинает работать, маленькие квадраты выпадают из ма­шины и могут быть сосчитаны либо вами, либо суммирую­щим механизмом аппарата. Допустим далее, что в ходе работы машина отбрасывает некоторое число маленьких квадратов, их число зависит от размеров прямоугольника. Вместе с тем машина всегда добавляет четыре квадрата ¹. Такую машину легко сконструировать, и она по общему правилу будет неизменно выдавать результат 2 (а+b).

Исследователь чувствует большое желание заглянуть в машину и выяснить, каким образом почти закономерно получается такой странный результат. Если бы можно было открыть машину и заглянуть внутрь! Но допустим, что это запрещено или даже что такой машины вообще не существует, что все происходит без машины — чудес­ным образом — просто в результате разрезаний и вычис­лений...

Рис. 15

¹ Применение формулы 2 (a+b) для вычисления площади означает, что исчезает площадь т и дважды появляются четыре за­штрихованных квадрата (см. рис 15).

У вас будет универсальный закон, подтверждающаяся неизменно формула, и тем не менее выраженный в этой формуле закон будет диким, слепым, совершенно непости­жимым.

17. Вернемся к нашему вопросу. В наших диких при­мерах отсутствовало доказательство, и могло возникнуть впечатление, что в этом-то и было все дело. В связи с этим рассмотрим, что является условием разумного, осмыслен­ного процесса мышления. Обычно называют следующие условия:

должно быть получено правильное решение,

такое решение достигается благодаря применению ло­гически правильных операций,

правильность результата должна быть доказана, ондолжен быть правилен во всех случаях.

И это все? Является ли это адекватным отражением того, с чем мы сталкиваемся в реальном, разумном про­цессе?

Рассмотрим процедуру, которая содержит все эти пере­численные признаки и все же остается уродливой. Допу­стим, я рассказываю о площади прямоугольника ребенку, который ничего не слышал о геометрии. Сначала я пока­зываю ему, что площадь квадрата есть а²: а, умноженное на а. Он усваивает это и вычисляет площади нескольких квадратов различных размеров. Затем я показываю ему прямоугольник и учу находить площадь прямоугольника следующим образом:

Рис. 16

1. Сначала вычти b из а а—b 7—2=5

2. Возведи остаток в квад- (а—b)² 5²=25
рат

3. Возведи b в квадрат и (а—b)²—b² 25—4=21
вычти его из ранее по­-
лученного результата

4. Возведи я в квадрат и (а—b)²—b²—а²21—49=—28
вычти его из результата 3

5. Умножь результат на a²+b²—(а—b)² +28
—1 (сделай его положи­-
тельным)

6. Раздели результат на 2 аb 14

Это — площадь прямоугольника. Это может быть до­казано геометрически, как показано на рисунке:

Рис. 17

Доказательство сводится к демонстрации равенства двух прямоугольников и вычитанию общей площади b². Хотя такое доказательство и является несколько замыс­ловатым, оно с логической необходимостью приводит к решению. Эта процедура не столь уродлива, как преды­дущая, но все же и она уродлива.

Вот некоторые реакции детей: «Что делают взрослые! Почему бы сразу не вычислить площадь? Это похоже на случай с квадратом — число маленьких квадратов в ниж­нем ряду нужно умножить на число рядов».