Примеры решения задач. Пример 1.Уравнение зависимости пути s, пройденного телом, от времени t имеет вид s = 4t – 2t2 + t3 (s в м

Пример 1.Уравнение зависимости пути s, пройденного телом, от времени t имеет вид s = 4t – 2t² + t³ (s в м, t в с). Найти: 1) зависимость скорости u и ускорения а от времени t; 2) расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через три секунды после начала движения; 3) среднюю скорость и среднее ускорение тела за первые три секунды движения.

Р е ш е н и е. 1) Уравнение движения тела задано траекторным способом. Скорость в этом случае определяется как первая производная от пути по времени , т.е. по формуле ( 2 ), ускорение - как вторая производная от пути по времени или первая производная от скорости по времени, т.е.

u(t) = s¢= 4 - 4t + 3t²; а(t) = u¢ = s¢¢ = -4 + 6t×

2) Найдем путь, скорость и ускорение тела через три секунды после начала движения, подставив время в предыдущие уравнения:

s =4×3 - 2×3² + 3³ = 9 м; u = 4 - 4×3 + 3×3² = 10 м/с; а = -4 + 6×3 = 14 м/с².×

3) Средняя скорость движения <u> определяется соотношением <u> = Ds / Dt, где Dt = t₂ -t₁, Ds = s₂ –s₁. В нашем случае t₁= 0, t₂= 3 с, Dt = 3 с;

s₁= 0, s₂= 4×3 - 2×3² + 3³ = 9 м. Тогда <u> = 9 / 3 = 3м/с

Среднее ускорение < a> определяется соотношением < a> = Du / Dt, где Dt = 3 с, а Du = u₂ –u_1. Скорость для моментов времени t₂ и t₁ определим из выражения u(t) = s¢= 4 - 4t + 3t², при t₁=0 u₁=4 м/с, при t₂= 3 с u₂= 19 м/с, тогда < a> = (19 – 4) / 3 = 5 м/с².

Пример 2.На рис. 10 показана зависимость скорости от времени для нескольких движений (1, 2, 3). Дать характеристику каждому движению по схеме: тип движения (равномерное, равнозамедленное, равноускоренное); начальная скорость u₀; ускорение a; путь, пройденный телом за все время движения.

Р е ш е н и е. На графике 1 представлено равнозамедленное движение, его начальная скорость u₀ равна 12 м/с, ускорение определяем по формуле a =( u - u₀)/Dt . Вычисляем:

a = ( 0 - 12) / 6 = -2 м/с².

Путь можно найти двумя способами - по формуле ( 12 ), все данные для которой берем из графика:

s₁= 12×6 - 2×6²/2 = 36 м,

или через площадь треугольника под линией зависимости u(t)

s₁= 12 × 6 / 2 = 36 м.

График 2 соответствует равноускоренному движению с начальной скоростью u₀ = 4 м/с. Через 8 с после начала движения скорость возросла до 12 м/с (конечная скорость u), тогда ускорение

a = ( 12 - 4) / 8 = 1 м/с².

Путь определяем по формуле (12)

s₂ = 4 × 8 + 1×8²/2 = 64 м.

Очевидно, что площадь трапеции под графиком 2 равна тоже 64 м.

График 3 показывает, что движение в течение первых четырех секунд было равномерным со скоростью u = 12 / 3 = 4 м/с. В последующие четыре секунды движение равнозамедленное с начальной скоростью u₀ = 4 м/с и конечной скоростью, равной 4 м/с. Ускорение при равнозамедленном движении

a = ( 4 - 12) / 4 = -2 м/с².

Путь, пройденный за все время движения , определяется суммой пути равномерного движения s_рвнм = u× t = 12 × 4 = 48 м и равнозамедленного s_рзмдл= 12 × 4 – 2 × 16 / 2 =32 м.

Общий путь s = 48 + 32 = 80 м.

Пример 3.Колесо радиусом 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задается уравнением j = 3 + 2t + t³ (j в радианах, время в секундах). Для точек на ободе колеса через три секунды после начала движения найти 1) угловой путь в радианах и оборотах; 2) угловую скорость и число оборотов в единицу времени; 3) линейную скорость; 4) угловое ускорение; 5) нормальное ускорение; 6) тангенциальное ускорение; 7) полное ускорение.

Р е ш е н и е. 1) Угловой путь в радианах найдем подстановкой времени в уравнение движения: j = 3 + 2×3 + 3³ = 36 рад. Угловой путь j связан с оборотами N соотношением j = 2πN, т.е. N = j / 2π, отсюда N = 36/6,28 = 5,73 оборота.

2) Угловая скорость w = j¢ =2 + 2t², для нашей задачи w =2 + 2×3²= 20 рад/с. Угловая скорость связана с числом оборотов в единицу времени соотношением w = 2πn, отсюда n = 20 / 6.28 = 3,18 об/с.

3) Линейная скорость u = w×R, т.е. u = 20×0,1 = 2 м/с.

4) Угловое ускорение e = w¢ = 4t, т.е. e = 4×3 = 12 рад/с².

5) Нормальное ускорение а_n = u²/R = w²×R, т.е. а_n =20²×0,1= 40 м/с².

6) Тангенциальное ускорение а_t = du/dt = u¢ = e×R, т. е. а_t = 12×0,1 = 1,2 м/с².

7) Полное ускорение , , т.е.

а = Ö 40² + 1,2² = 40,02 м/с².

Пример 4.Снаряд вылетел из орудия под углом 30⁰ к горизонту со скоростью u₀ = 600 м/с. Найти через 20с после начала движения 1) положение снаряда (на подъеме или спуске); 2) высоту подъема снаряда; 3) его скорость; 4) угол между нормальным и полным ускорением; 5) тангенциальное и нормальное ускорения. Принять g = 10 м/с²

А н а л и з. Траектория движения снаряда представлена на рис.2. Движение сложное, состоит из двух простых: вдоль оси Х оно равномерное с постоянной скоростью u_х = u_0х = u₀×cosa , вдоль оси У - равнопеременное с начальной скоростью u_0у= u₀×sina и ускорением g= 9,8 м/с². Запишем уравнения движения в проекциях на координатные оси:

ОХ: х = u₀×cosa×t, (25)

ОУ: y = u₀×sina×t – gt²/2, (26)

u_у = u₀×sina – gt. (27)

Знак «минус» в последних двух уравнениях показывает, что вектор gнаправлен против положительного направления оси ОУ(если бы ось ОУ направили вниз, знак изменился бы на противоположный).

Р е ш е н и е. 1) Для определения положения снаряда в указанный момент времени t = 20с нужно найти время движения снаряда до высшей точки траектории (обозначим это время, например, через t₁). Если t будет меньше t₁, снаряд будет подниматься, если наоборот – опускаться. Время t найдем из уравнения (27).

Поскольку в высшей точке траектории u_у = u₀×sina – g t₁ = 0, то

t₁ = u₀×sina / g. t₁ = 600×sin30⁰ /10 = 600×0,5 /10 = 30 c.

Сравним t и t₁, t < t₁, значит снаряд находится на подъеме.

2) Через t =20 с после начала движения у = h. Определим h по уравнению ( 25 ): h = u₀×sina×t – gt²/2;

h = 600×sin30⁰×20 - 10×(20)²/2 = 6000 – 2000 = 4000 м.

3) Скорость в указанной точке, согласно рис. 11, определится по теореме Пифагора: u = Ö u_x² + u_y² .Составляющую скорости u_у найдем по уравнению (27) для момента времени 20с: u_у = 600×0,5 – 10×20 = 100 м/с. Учтем, что u_х = 600×cos30⁰=600×0,87=520 м/c, тогда u = Ö100² + 520² = 529,53 м/с

4) Для определения угла между векторами нормального ускорения а_nи полного g, который всегда направлен вниз, нужно знать направление а_n. Параллелограмм ускорений в сопоставлении с параллелограммом скоростей представлен на рис. 12. Тангенциальное ускорение направлено против скорости, т.к. движение на подъеме замедленное. Из рис. 11 следует, что sinb = u_х / u = а_{n /} g;

sinb = u_х / u = 520 / 529,43 = 0,98; b = 79⁰.

5) Зная угол b, найдем а_t и а_n : а_t = g×cosb; а_t = 10×0,71 = 7,1 м/с²;

а_n = g×sinb; а_n = 10×0,7 = 7 м/с²

Пример 5.Вентилятор, вращаясь равноускоренно, через время t = 15 c после включения достиг скорости, соответствующей частоте вращения n = 600 об/мин. Найти угловое ускорение вентилятора и число оборотов за время t.

Р е ш е н и е. Уравнения, описывающие вращение вентилятора, имеют вид

j = 2πN = w₀t + et²/2; w = w₀ + et.

Поскольку начальная угловая скорость w₀ равна нулю, второе из этих уравнений преобразуется к виду w = et. Учтем, что w = 2πn, получим 2πn = et. Тогда e = 2πn / t. Переведем об/мин в об/с: n = 600/60 = 10 об/с. Вычисляем угловое ускорение e = 2×3,14×10/15 = 4,2 рад/с².

Из первого уравнения (w₀=0), следует, что N = et²/(4π). Вычисляем6

N = 4,2×10²/(4×3,14) = 420 / 12,57 = 33,41 оборотов

Ниже приведены образцы экзаменационных вопросов и заданий.

Экзаменационные вопросы и задания

Предлагаются экзаменационные задания разных типов. Самые простые вопросы требуют от студентов знания всех физических величин и их единиц измерения, изучаемых в данном разделе. В этих случаях в ответе нужно написать букву, обозначающую физическую величину и ее единицу измерения в СИ.

На вопросы типа 4,5, 9, 10,… и т. п. нужно давать словесный ответ. Есть тестовые задания с открытым ответом (например, 14, 15, 16 ) в виде уравнений, чисел, графиков и т.д. В таких заданиях нужно выбрать правильный ответ.

Большая часть заданий сформулирована традиционным образом и требует четкого решения по образцу школьных задач.

Студенты, тщательно проработавшие приведенные ниже задания, успешно справятся с аналогичными экзаменационными по кинематике.

1.Нормальное ускорение (обозначение, ед. измерения).

2.Угловая скорость (обозначение, ед. измерения).

3.Ускорение свободного падения (обозначение, ед. измерения, численное значение).

4.Какая физическая величина измеряется в рад/с²?

5.В каком случае перемещение тела равняется пройденному пути?

6.Физическую величину, равную 0,1 мм/мин² перевести в систему СИ. Что это за величина?

7.Тело движется прямолинейно со скоростью 3 км/час. Выразить эту скорость в единицах системы СИ.

8.Ускорение ползущей черепахи составляет 0,5 мм/мин². Выразить его в системе СИ.

9.Охарактеризовать движение, для которого а_τ = 0, а_n = 2 м/с ² .

10.К какому виду можно отнести движение со следующими характеристиками: а_τ = 0 , а_n = const?

11.По какой траектории движется тело, если а_n = 0?

12.Материальна точка, двигаясь по периметру прямоугольника со сторонами а и в, переместилась из одного угла прямоугольника в противоположный. Найти путь и перемещение точки.

13.Движение тела с постоянным положительным (отрицательным) ускорением называется …. .

14.Твердое тело движется по закону s = 0,3t² + 0,1, (рад/с). Это движение является ….

а) равномерным; б) ускоренным; в) равноускоренным; г) равнозамедленным; д) замедленным? Выбрать правильный ответ.

15.Материальная точка движется прямолинейно. Выбрать уравнения, описывающие равномерное движение (х- координата; υ - скорость; а- ускорение):

А) х = 3t⁴ + 1; Б) υ = 3t² + 2 t ; В) а = 0,1 + t; Г) х = 0,3t² + 0,1 ;. Д) нет правильного ответа.

16.Какие из приведенных уравнений описывают равнопеременное движение?

А) υ = 5 + 2t² ; Б) s = s₀+ 2t; В) s = 2t²; Г) s = s₀- 2t -t ²;

Д) υ = 3 - 2t; Е) a = 0.5t.

17.Тело движется прямолинейно по законуs = 3t² + t + 1. Найти его начальную скорость .

18. Скорость прямолинейного движения материальной точки подчиняется закону υ = 1 + 2t² ,м/с. Охарактеризовать это движение. Записать кинематическое уравнение движения x(t).

19.Два автомобиля движутся по одной дороге, причем скорости их меняются так, как показано на графике (рис.13). Который из них имеет большее ускорение?

 

 

 

20.Какой путь пройдет человек за 10 с, двигаясь со скоростью 5,4 км/час?

21.Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Двигаясь на протяжении всего пути с ускорением 0,1 м/с² , он прибыл в пункт назначения через четверть часа. Какое расстояние между пунктами?

22.Пловец плывет против течения реки со скоростью 4 км/час. Скорость течения реки 2 км/час. Какова скорость пловца, если он плывет по течению реки?

23.Автомобиль прошел расстояние АВ со скоростью 40 км/час, а обратное ВА - со скоростью 30 км/час. Какова средняя скорость рейса?

24.Автомобиль движется по закону, представленному на графике (рис.14). Какую скорость показывает его спидометр?

25.Кинематическое уравнение движения тела имеет вид s = 5t + 0,4t² . Определить скорость тела через 3 с после начала движения. Какова средняя скорость тела за 3 с движения?

26.Скорость прямолинейного движения материальной точки подчиняется закону υ = 3 + 4t² ,м/с. Определить путь и перемещение тела за первые 2 с своего движения.

27.Ускорение прямолинейно движущейся точки изменяется по закону a = (2t² + 0,5),м/с². Какова скорость точки через три секунды движения?

28.Вы едете на автомобиле из Красноярска до пос. Солонцы. Первую треть пути вы проехали со скоростью 50 км/час, вторую – со скоростью 70 км/час и третью – со скоростью 60 км/час. Определить среднюю скорость Вашего движения.

29.Поезд, отойдя от станции, первые 100 м пути проходит за 10 с, а следующие 300 м - за 15 с. Определить среднюю скорость движения поезда при разгоне.

30.Уравнение скорости движения тела имеет вид υ = 20 - 2t . Какой путь пройдет это тело за 3 с?

31.Для тела, движущегося прямолинейно, зависимость пройденного пути от времени имеет вид s = 2 + 3t, где t - время движения. С каким ускорением движется тело?

32.Указать графики (рис.15), описывающие равномерное (равнозамедленное) движение. Здесь υ - скорость движения; S - пройденный путь; a - ускорение; t - время.

33.При движении тела по криволинейной траектории угол между тангенциальным и нормальным ускорениями равен … .

34.В некоторой точке траектории полное ускорение движущегося объекта равно 10 м/с ², тангенциальное 9 м/с². Определить нормальное ускорение объекта.

35.Материальная точка движется замедленно (ускоренно) по указанной траектории (рис.16) в направлении стрелки. Показать направление тангенциального (нормального, полного) ускорения в точке В.

 

 

		Рис.16
	Рис.15

 

 

36.При движении тела по криволинейному пути его тангенциальное ускорение равняется 1 м/с², нормальное в три раза больше. Найти полное ускорение

37.Тело движется по криволинейной траектории в направлении, указанном стрелкой. За 2 с оно переместилось из точки А в точку В. При этом его скорость менялась по закону υ = 5 + 6t²,м/с. Найти путь и перемещение точки за это время.

 

 

38.Вагон массой 20 т движется равнозамедленно, имея начальную скорость 36 км/час и ускорение 0,2 м/с². Какое расстояние он пройдет до остановки?

39.Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый двигался по закону приведенному на графике 1 (рис.18 а), второй - на графике 2 (рис.18 б). Какой автомобиль достигнет пункта назначения первым?

 

 

40.Камень падает с высоты 100 м с начальной нулевой скоростью. Какой путь он пройдет за последние 0,2 с своего движения?

41.Камень падает с высоты 100 м с начальной нулевой скоростью. За какое время он пролетит последние 10 м своего пути?

42.Космическая ракета после вертикального старта поднялась на высоту 5 км за 10 с. С каким ускорением стартовала ракета? Сопротивлением воздуха пренебречь.

43.Свободно падающее тело в некоторой точке имело скорость 20 м/с, а в другой точке - 40 м/с. Найти расстояние между этими точками.

44.Стрела, выпущенная вертикально вверх со скоростью 40 м/с попадает в цель через 2 с. На какой высоте находилась цель? Какова была скорость стрелы при попадании ее в цель?

45.Камень, брошенный горизонтально с высоты 20 м, упал на землю на расстоянии 15 м от места броска. Определить начальную и конечную скорости камня. Показать их направления.

46.Камень бросили с начальной скоростью 10 м/с под углом 60˚ к горизонту с высоты 1 м от поверхности земли. Попадет ли он в цель, находящейся на поверхности земли расстоянии 30 м от места бросания?

47.Мяч брошен под углом 30˚ к горизонту с начальной скоростью 5 м/с. Максимальная высота подъема мяча равна … .

48.С самолета, летящего горизонтально со скоростью 800 км/час на высоте 1 км сбрасывают бомбу. На каком расстоянии от места сброса будет находиться самолет, когда бомба достигнет земли?

49.Сплошной диск вращается вокруг оси, проходящей через центр массы, в направлении стрелки. Для двух точек обода указаны вектора линейных скоростей υ₁ и υ₂ (рис.19). Какой из рисунков можно считать правильным?

50.В автомобильных гонках участвуют два автомобиля. У первого автомобиля диаметр колес 0,7 м, у второго - 0,5м. Колеса первого при движении вращаются с частотой 10 об/с, второго - 15 об/с. У какого автомобиля больше шансов выиграть гонку?

 

51.Колесо диаметром 1 м движется по дороге с линейной скоростью 2 м/с. Определить угловую скорость вращения колеса.

52.По горизонтальной дороге катится обруч радиусом 30 см со скоростью 5 м/с. Каково ускорение различных точек обруча?

53.Тело движется равномерно по окружности по часовой стрелке (рис.20). Вектор ускорения при таком движении направлен по стрелке …

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

 

 

54.Тело вращается равномерно с угловой скоростью 2 рад/с по окружности радиуса 1 м. Чему равно нормальное, тангенциальное и полное ускорения тела?

55.Автомобиль движется с постоянной по модулю скоростью по траектории, представленной на рис.21. Нормальное (или центростремительное) ускорение минимально

1) 1 2) 2 3) 3 4) Во всех точках одинаково

56.Уравнение движения материальной точки по окружности в системе СИ имеет вид φ = 3t⁴ + 1. Найти угловое ускорение для момента времени 1 с.

57.Твердое тело вращается вокруг оси по закону w = 0,3t² + 0,1, (рад/с). Это движение является а) равномерным; б) ускоренным; в) равноускоренным; г) равнозамедленным; д) замедленным? Выбрать правильный ответ.

58. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = A + Bt + Сt² , где А = 10 рад; В = 4 рад /с; С = -1 рад /с². Определить полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения в момент времени t = 4 с .

59.Вращаясь по окружности радиуса 2 м, материальная точка сделала четверть оборота за 10 с. Найти перемещение точки и пройденный ею путь.

60.Вращаясь равномерно по окружности, материальная точка сделала 2 оборота за 10 с. Определить угловую скорость вращения.

61.Вращаясь по окружности радиуса 2 м, материальная точка сделала четверть оборота за 10 с. Определить среднюю угловую скорость движения точки за это время.

62.Материальная точка начала вращаться с постоянным угловым ускорением из положения 1 и через 0,1с оказалась в положении 2 (рис.22). Найти угловые ускорение и скорость в точке 2. Указать направления тангенциального, нормального и полного ускорений, а также линейной и угловой скоростей для положения 2.

63.Угловое ускорение вращающегося маховика меняется по закону ε = 0,15t. Определить среднюю скорость маховика за первые три секунды вращения.

64.Дать характеристику движению, приведенному на графике (рис.23). Построить график зависимости ε(t) и φ(t). Считать φ₀ = 0.

	Рис.22

65.Воспользовавшись графиком предыдущего задания, найти среднее угловое ускорение и угловой путь вращающегося тела за 2 с движения.

66.Тело вращается равнозамедленно с начальной угловой ско­ростью 10 с^-1 и угловым ускорением 2 с^-2. Сколько оборотов сделает тело за 5 с?

67.Вертолет и самолет летят навстречу друг другу: первый со скоростью υ , второй - 2υ относительно Земли. Какова скорость самолета относительно вертолета ?

68.Тело движется по криволинейной траектории. Пройденный путь меняется со временем по закону s = 2 + 0,5t²,м. Определить нормальное, тангенциальное и полное ускорение при t = 1 с. Радиус кривизны траектории движения в этот момент времени равен 50 см. Какова средняя скорость за 1 с движения?