Однородные СЛАУ.

Однородная система линейных алгебраических уравнений с неизвестными представляет собой систему вида

Однородные СЛАУ всегда совместны, поскольку всегда имеется нулевое решение.

Критерий существования ненулевого решения.Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы ее матрица была вырождена.

Теор.Если столбцы , , …, - решения однородной СЛАУ, то и любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечное множество решений.

Естественно попытаться найти такие решения , , …, системы, чтобы любое другое решение представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом.

Опр. Любой набор из линейно независимых столбцов , , …, , являющихся решениями однородной СЛАУ , где - число неизвестных, а - ранг ее матрицы , называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных уравнений в матрице системы будем фиксировать базисный минор. Базисному минору будут соответствовать базисные столбцы и, следовательно, базисные неизвестные. Остальные неизвестные будем называть свободными.

Теор. О структуре общего решения однородной СЛАУ. Если , , …, - произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ , то любое ее решение можно представить в виде

, где , …, - некоторые постоянные.

Т.о. общее решение однородной СЛАУ имеет вид

.