Решение. 1. Находим полное сопротивление цепи

1. Находим полное сопротивление цепи

Z =

где R = R₁ + R₂ = 2 + 2 = 4 – арифметическая сумма всех активных сопротивлений, Ом;

Х _L = Х _L1 + Х _L2 = 4 + 5 = 9, X _C = X _C1 + X _C2 = 4 + 2 = 6 – арифметические суммы однотипных индуктивного и емкостного сопротивлений, Ом.

Подставляем полученные значения в формулу.

Z = = = 5 Ом

2. По закону Ома для цепи переменного тока определим ток в цепи:

I = U / Z = 220 / 5 = 44 А

3. Из треугольника сопротивлений следует: Сos φ = R / Z = 4 / 5 = 0,8 ;

Sin φ= =( 9 – 6) / 5 = 0,6

По таблицам тригонометрических величин найдем значения угла сдвига фаз: φ = 36⁰

4. Подсчитываем мощности:

полная мощность S = U· I = 220 · 44 = 9680 ВА = 9,6 кВА

активная Р = S ·Сos φ = 9680 · 0,8 = 7744 Вт =7,744 кВт

реактивная Q = S· Sin φ = 9680· 0,6 = 5808 вар = 5,808 квар

При построении векторных диаграмм тока и напряжений следует исходить из следующих условий:

· ток одинаков для любого участка цепи, т. к. разветвлений в ней нет;

· на каждом сопротивлении при прохождении тока создается падение напряжения, значение которого определяют по закону Ома для цепи и называют напряжением на данном сопротивлении: U_А = I ·R – на активном, U_L = I ·Х _L – на индуктивном; U _С = I ·Х _С – на емкостном.

Построение векторной диаграммы

1. Выписываем значение тока и напряжений: I= 44 А; U _L1 = I ·Х _L1 = 44· 4 = 176 В; U _А1 = I· R₁ = 44 · 2 = 88 В; U_L2 = I ·Х _L2 = 44 ·5 = 220 В; U _А2 = I ·R₂ =

44 · 2 = 88 В; U_c1 =I ·Х _С1 = 44 · 4 = 176 В; U _С2 = I· Х _С2 = 44 · 2 = 88 В.

2. Исходя из размеров бумаги (миллиметровки, или тетрадного листа в клетку), задаемся масштабом по току и напряжению. Для рассматриваемого примера принимаем масштаб: по току m _I= 10 А /см, по напряжению

m _U =44 В/ см. Тогда длины векторов ℓ следующие:

длина вектора тока

ℓ_I = I / m _I = 44 / 10 = 4,4 см;

длины векторов напряжений

ℓ _{U L1} = U _L1 / m _U = 176 В / 44 В / см = 4 см;

ℓ _{U L2} = U _L2 / m _U = 220 В / 44 В / см = 5 см

ℓ _{UС 1} = U _С1 / m _U = 176 В /44 В/см = 4 см

ℓ _{UА 1} = U _А1 / m _U = 88 В / 44 В / см = 2 см

ℓ _{UА 2} = U _А2 / m _U = 88 В / 44 В / см = 2 см

ℓ _{UС 2} = U _{С 2} / m _U = 88 В / 44 В см = 2 см

3. Выполняем построение диаграммы в такой последовательности:

а) за начальный принимается вектор тока, так как ток имеет одинаковое значение для всех участков цепи.

Строим этот вектор горизонтально в масштабе (рисунок 15)

Рисунок 15

Далее следует строить векторы напряжений на каждом сопротивлении с учетом сдвига фаз относительно вектора тока.

При этом целесообразно придерживать схемной ( рисунок 14) последовательности расположения сопротивлений и напряжений на них.

U_L1→ U_А1 → U_L2→U_А2 → U_С1 →U_С2;

б) вектор напряжения на первом индуктивном сопротивлении строим от начало вектора тока под углом 90⁰ в сторону опережения этого вектора (вверх) ( рисунок 16)

Опережение или отставание вектора определяется характером нагрузки и принятым направлением вращения векторов против часовой стрелки;

в) вектор напряжения на первом активном сопротивлении U_А1 строим от конца вектора U_L1, параллельно вектору тока, т. к. между этими векторами I и U_А1 сдвига фаз нет (рисунок 17)

m _U = 44 В / см m _U = 44 В / см

ℓ _{U L1} = 4см ℓ _{UА 1} = 2см

Рисунок 16 Рисунок 17

г) вектор напряжения на втором индуктивном сопротивлении U_L2 строим от конца вектора U_А1 в сторону опережения на 90⁰ (вверх) (рисунок 18)

m _U = 44 в / см m _U = 44 в / см m _U = 44 в / см

ℓ _{UL 2} = 5см ℓ _{UА 2} = 5см ℓ _{UС 1} = 4см

ℓ _{UС 2} = 2см

Рисунок 18 Рисунок 19 Рисунок 20

д) вектор напряжения на втором активном сопротивлении U_А2 строим от конца вектора U_L2 параллельно вектору тока аналогично построению вектора U_А1 (рисунок 19) .

е) векторы напряжений на первом и втором емкостных сопротивлений U_С1 и U_С2 строим от конца вектора U_А2 под углом 90 ⁰ в сторону отставания от вектора тока (вниз) ( риcунок 20).

ж) вектор полного напряжения U находим геометрическим сложением векторов по правилу многоугольника; начало принятого за первый вектор U_L1 соединением с концом последнего вектора U_С2 (рисунок 21).

Угол между векторами тока I и общего ( приложенного) напряжения U обозначают φ и называют углом сдвига фаз данной цепи.

Рисунок 21

Проверка:

Следует проверить аналитическое решение и построение векторной диаграммы путем их сопоставления следующим образом.

1. Проверка угла φ производится с помощью транспортира и сравнением полученного угла в градусах с расчетным значением решения в данном случае по расчету φ = 36 ⁰ по диаграмме этот угол также равен φ = 36 ⁰ .

2. Проверка значения приложенного напряжения по диаграмме длина этого вектора ℓ _U = 5 см, значение напряжения

U = ℓ _U ·m _U = 5 см · 44 В / см = 220 В,

что соответствует условием задачи. Значит , диаграмма построена верно. В случае значительных расхождений при такой проверке следует найти ошибку.

3.3 Указание к решению задачи 3

Для решения задачи 3 необходимо изучить тему «Трансформаторы» , знать устройство, принцип действия и работу однофазных трансформаторов. Уметь определять по техническим характеристикам (паспортным данным) электрические величины, характеризующие работу трансформатора в номинальном режиме и при работе с недогрузкой.

Номинальный режим. В этом режиме трансформатор загружен номинальной (полной) мощностью при номинальных напряжениях на первичном U_{1 ном} и вторичной U_{2 ном} обмотках трансформатора, S _ном = S_{1 ном} = S_2ном.

Ток вторичной обмотки определяют из формулы мощности.

S_2ном = U_2ном · I_{2 ном} → I_{2 ном} = S_2ном / U_2ном = S_ном / U_2ном

Ток в первичной обмотке подсчитывают аналогично:

S_{1 ном} = U_{1 ном} ·I_{1 ном} → I_{1 ном} = S_{1 ном} / U_{1 ном} = S_ном / U_{1 ном}

Активная мощность, отдаваемая вторичной обмоткой трансформатора приемнику энергии, зависит от коэффициента мощности потребителя Cosφ_2ном выражается формулой

Р_{2 ном} = S_2ном· Cosφ_2ном

При активной нагрузке, такой как лампы освещения, Cosφ = 1 и Р_{2 ном} = S_2ном

Активная мощность, потребляемая трансформатором из сети:

Р_{1 ном} = U_{1 ном} · I_{1 ном} ·Сos φ_{1 ном}.

Тогда коэффициент полезного действия

η= Р_{2 ном} / Р_{1 ном},

а потери мощности в трансформаторе ∑ Р = Р_{1 ном} - Р_{2 ном}.

Коэффициент трансформации k определяется отношением числа W₁ и W₂ или ЭДС самоиндукции Е₁ в первичной обмотке и взаимоиндукции Е₂ во вторичной

k = W₁ / W₂ = Е₁ / Е₂

При холостом ходе (нагрузка отключена) эти ЭДС почти равны напряжениям обмоток U_{1 х х} и U_{2 х х} . Значит, наиболее точная формула определения коэффициента трансформации по отношению напряжений холостого хода обмоток

k = U _{1х х} / U_{2 х х} .

Практически коэффициент трансформации подсчитывают приближенно отношением напряжений в любом режиме

k = U_{1 ном} / U_{2 ном} , или k = U₁ / U₂.

Допускаемая ошибка незначительна, т.к. напряжения нагруженного трансформатора немного отличаются от их значений в режиме холостого хода.

Принимая U_{2 ном} · I_{2 ном} = U_{1 ном} · I_{1 ном} получим U_{1 ном} / U_{2 ном} = I_2ном / I_1ном = k, т.е. коэффициент трансформации можно также определить отношением токов.

Неноминальный режим работы трансформатора.

Чаще всего мощность потребителя S₂ подключенная к вторичной обмотке трансформатора, меньше его номинальной мощности S _ном.

Отношение S₂ / S_1ном = k _нг называется коэффициентом нагрузки

В таком режиме S₂ = U₂ ·I₂→ I₂ = S₂ / U₂; S₁ = S₂ = U₁ · I₁ → I₁ = S₂ / U₁

Остальные обозначения и формулы такие же, как для номинального режима, но без индекса «ном».

Задача

Однофазный трансформатор питает пониженным напряжением лампы накаливания. Режим номинальный. Первичная обмотка трансформатора подключена к напряжению сети U₁ = 220 В, а вторичная – нагружена 20 лампами мощности по 50 Вт (рисунок 11). Напряжение на вторичной обмотке трансформатора U₂ = 12 В. Коэффициент полезного действия трансформатора η = 0,9. Число витков первичной обмотки W₁ = 400.

Определить:

1. Коэффициент трансформации трансформатора k;

2. Активную мощность Р₂ отдаваемую вторичной обмоткой трансформатора;

3. Активную мощность Р₁ потребляемую трансформатором из сети;

4. Токи первичной I₁ и вторичной I₂ обмоток трансформатора;

5. Число витков вторичной обмотки трансформатора.