Краткие теоретические сведения. В настоящей работе исследуются три электрические цепи переменного тока, состоящие из катушки индуктивности

В настоящей работе исследуются три электрические цепи переменного тока, состоящие из катушки индуктивности, батареи конденсаторов и их последовательного соединения. Реальная катушка индуктивности характеризуется активным сопротивлением R_К и индуктивным сопротивлением

Х_L = ω∙L, (11)

где ω – угловая частота переменного тока, рад/с,

L – индуктивность катушки, Гн (генри).

Заметим, что при исследовании идеальной катушки индуктивности ее активным сопротивлением пренебрегают и рассматривают идеальную катушку, как элемент, обладающий только индуктивным сопротивлением Х_L.

Батарея конденсаторов характеризуется емкостным сопротивлением

Х_С = , (12)

где C – емкость батареи, Ф .

И индуктивное и емкостное сопротивления являются реактивными сопротивлениями.

При последовательном соединении катушки и конденсатора (рис. 6) ток цепи определяется как

I = = = (13)

где Z - полное сопротивление цепи.

Рис.6. Цепь переменного тока с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивлений (последовательная R-L-C цепь).

Формула (13) представляет собой выражение закона Ома для цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора.

В общем случае при наличии в цепи нескольких сопротивлений каждого типа (активных, индуктивных и емкостных) выражение закона Ома для последовательной цепи переменного тока примет вид

I = =

Напряжение на катушке

U_K = I ∙ Z_K = (14)

где Z_K – полное сопротивление катушки.

Напряжение на конденсаторе

U_С = I ∙ Х_С (15)

Активная мощность катушки

P = I ² ∙ R_K . (16)

Если в цепь переменного тока включить только катушку индуктивности с активным сопротивлением R_K и индуктивным сопротивлением Х_L, то ток в цепи определяется как

I = = (17)

Известно, что в активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе, а в индуктивном напряжение опережает ток по фазе на 90º.

Векторная диаграмма для реальной катушки индуктивности представлена на рис.7, где φ – угол сдвига фаз между током и напряжением в катушке.

Рис.7. Векторная диаграмма электрической цепи с реальной катушкой индуктивности.

Разделив все стороны треугольника напряжений на величину тока I, получим треугольник сопротивлений (рис.8), а умножив на I² – треугольник мощностей (рис.9), где Р, Q, S – активная, индуктивная (реактивная) и полная мощность катушки соответственно.

Рис.8. Треугольник сопротивлений для катушки индуктивности

Рис.9. Треугольник мощностей для катушки индуктивности

Очевидно, что все три треугольника подобны, т.е. их углы равны между собой. Сos φ называется коэффициентом мощности цепи, т.к. его величина показывает, какая часть полной мощности S является активной.

cos φ = = = (18)

Таким образом, коэффициент мощности цепи может быть рассчитан как через мощности, так и через сопротивления или напряжения.

Расчет параметров катушки индуктивности при известных величинах I, U, P осуществляется следующим образом:

1) полное сопротивление из выражения (17) Z_K = , Ом;

2) активное сопротивление из выражения (16) R_K = , Ом;

3) индуктивное сопротивление из треугольника сопротивлений X_L = , Ом;

4) полная мощность, измеряемая в вольт-амперах S = U∙ I, ВА;

5) коэффициент мощности в соответствии с выражением (18)

cos φ = ;

6) реактивная (индуктивная) мощность, изхмеряемая в вольт-амперах реактивных, из треугольника мощностей Q_L = , ВАр;

7) индуктивность катушки, измеряемая в генри, из выражения (9)

L = , Гн (19)

где ω = 2πf, f – частота тока в сети, Гц.

Частота тока в сети f = 50 Гц, откуда ω = 2π50 = 314 рад/с.

Если в цепь переменного тока включить только конденсатор с емкостным сопротивлением Х_С, то выражение закона Ома (13) примет вид

I = = = U ω С (20)

Известно, что в емкостном сопротивлении напряжение отстает от тока по фазе на 90º.

Векторная диаграмма для конденсатора представлена на рис.10.

Рис.10. Векторная диаграмма электрической цепи с конденсатором.

Из векторной диаграммы можно сделать следующие выводы. Активное сопротивление конденсатора R_C = 0; активная мощность конденсатора Р=0. Полное сопротивление конденсатора равно его реактивному сопротивлению Z_C = X_C = , а полная мощность – реактивной мощности S = Q_C = U∙ I. Коэффициент мощности cos φ = 0.

Емкость конденсатора определяется из выражения (12) C = .

При последовательном включении катушки индуктивности и конденсаторной батареи получаем электрическую цепь с последовательным соединением активного R_К, индуктивного X_L и емкостного X_C сопротивлений.

В такой цепи можно выделить три характерных режима работы в случаях, когда X_L > X_С , X_L < X_С , X_L = X_С . Векторные диаграммы для этих режимов представлены на рис.11. 1, 2 ,3 соответственно. Здесь U_X – реактивное напряжение последовательной цепи.

Рис.11. Векторные диаграммы цепи переменного тока с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивлений при:

1) X_L > X_С; 2) X_L < X_С; 3) X_L = X_С.

Векторная диаграмма, представленная на рис.11.3, аналогична векторной диаграмме цепи переменного тока с активным сопротивлением в том смысле, что все напряжение, приложенное к зажимам цепи, падает на активном сопротивлении, т.е. U = U_R, вектора напряжения U и тока I совпадают по фазе, угол сдвига между ними φ = 0 и коэффициент мощности цепи cos φ = 1.

Ток при этом будет иметь максимально возможного значения при данной величине приложенного напряжения.

Из выражения (13) при X_L = X_С

I_max = = = (21)

Отсутствие влияния реактивных сопротивлений на величину тока в цепи в этом случае объясняется тем, что при равенстве между собой X_L и X_С равные между собой и смещенные относительно друг друга по фазе на 180º напряжения U_L и U_С взаимно компенсируются.

Режим работы, устанавливающийся в цепи переменного тока с последовательным соединением R, X_L и X_С в случае X_L = X_С называется резонансом напряжений.

Сущность явления резонанса напряжений заключается в том, что напряжения, возникающие на зажимах катушки и на обкладках конденсатора могут в несколько раз превышать напряжение, приложенное к зажимам цепи.

Частота, при которой в цепи с заданными величинами L и С достигается резонанс напряжений, называется резонансной частотой (ω_Р, f_Р). Ее значение можно определить из условий резонанса Х_L = Х_С

ω_РL = ; ω_р = ; f_Р = (22)

Резонанс напряжений может быть получен изменением угловой частоты переменного тока ω, индуктивности катушки L или емкости конденсаторной батареи С. В данной работе резонанс напряжений получают путем изменения величины емкости конденсаторной батареи.

При увеличении емкости конденсаторной батареи емкостное сопротивление цепи в соответствии с выражением (12) будет уменьшаться. Если подобрать значения индуктивности катушки L и начальной емкости конденсаторной батареи С₀ таким образом, чтобы Х_Lбыло меньше, чем Х_С0, то при увеличении емкости в соответствии с выражением (13) общее сопротивление цепи Z будет уменьшаться до того момента, когда Х_С станет равным Х_L, а затем начнет возрастать. При этом ток в цепи будет сначала увеличиваться, достигнет максимума при Х_L = Х_С, а затем начнет уменьшаться. Резонансу напряжений будет соответствовать значение емкости конденсаторной батареи С_Р, при котором ток I максимален (рис.12).

Определение параметров цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора осуществляется следующим образом.

При заданном значении напряжения U, приложенного к зажимам цепи и при каждом из заданных значений емкости конденсаторной батареи С_i измеряются величины тока I, напряжения U_K, приложенного к катушке, напряжения U_C, приложенного к конденсатору и активной мощности цепи Р. Остальные параметры цепи являются расчетными величинами.

Рис.12. К определению резонансной емкости конденсаторной батареи при резонансе напряжений

Активное сопротивление катушки R_K = , Вт.

Полное сопротивление катушки Z_K = , Ом.

Индуктивное сопротивление катушки Х_L = , Ом.

Сопротивление катушки в процессе проведения лабораторной работы не изменяется, поэтому величины R_К, Z_К, и Х_L достаточно вычислить один раз.

Емкостное сопротивление конденсатора Х_С = , Ом.

Реактивная (индуктивная) мощность катушки Q_L = I ² ∙ Х_L, ВАр.

Реактивная (емкостная) мощность конденсатора Q_С = I ² ∙ Х_С, ВАр.

Реактивная мощность цепи Q = Q_L - Q_С, ВАр.

Полная мощность цепи S = I ∙ U = = , ВА.

Коэффициент мощности цепи cos φ =

Угол сдвига фаз между током и напряжением φ = arсcos ,

Падение напряжения на активном сопротивлении катушки U_R = I ∙ R_K, В.

Падение напряжения на индуктивном сопротивлении катушки U_L = I ∙ X_L, В.

Активная мощность в цепи измеряется ваттметром. Ваттметр имеет две измерительные обмотки: токовую обмотку и обмотку напряжения. Фактически ваттметр измеряет значения тока, протекающего через токовую обмотку и значение напряжения, приложенного к активным сопротивлениям, расположенным между зажимами обмотки напряжения, и затем вычисляет значения активной мощности в соответствии с выражением Р = I U_R.

План лабораторной работы

Задание 1. Определить электрические параметры катушки и конденсатора в цепи переменного синусоидального тока частотой f = 50 Гц.

1. Собрать электрическую схему c катушкой индуктивности (рис.13). Включая ваттметр, необходимо генераторные зажимы токовой обмотки и обмотки напряжения, отмеченные звездочками, присоединить к одному и тому же проводу со стороны источника электрической энергии (генератора).

Рис.13. Схема исследования цепи переменного тока с катушкой индуктивности и с конденсатором: ЛАТР – лабораторный автотрансформатор (ЛАТР); V - вольтметр 75-150-300-600 В; A – амперметр 1-2 А; W – ваттметр U = 75-150-300-600 В, I = 1-2 A.

2. Установить напряжение, подаваемое на катушку U_ВХ = 70 В, с помощью ЛАТРа.

3. Измерить ток в цепи I и активную мощность Р.

4. Заменив катушку конденсатором, повторить пп.2 и 3.

5. Рассчитать параметры катушки индуктивности и конденсатора, указанные в табл.4.

6. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 4.

7. Построить векторные диаграммы для цепей переменного тока с катушкой индуктивности и с конденсатором.

Задание 2. Получение резонанса напряжений в цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора.

1. Собрать электрическую схему (рис.14), используя приборы перечисленные в задании 1. Для измерения напряжений катушки U_K и конденсатора U_С использовать вольтметр V₁ со свободными концами.

Рис.14. Схема исследования цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора.

2. Установить напряжение на входе исследуемой электрической схемы U_вх = 20 В с помощью ЛАТРа.

3. Измерить токи I, активные мощности P, напряжения на катушке U_К и конденсаторе U_C , изменяя емкость батареи конденсаторов (установленной на стенде) от 12 до 32 мкФ в следующем порядке: 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32 мкФ,

4. Рассчитать параметры последовательной цепи переменного тока, указанные в табл.5.

5. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 5.

6. Построить графики зависимостей тока в цепи I, напряжений на катушке U_К и конденсаторе U_C, активной мощности цепи Р, а также коэффициента мощности cos φ от емкости конденсаторной батареи.

7. Построить векторные диаграммы цепи переменного тока, соответствующие значениям емкости С = 16 мкФ, С = 26 мкФ и С = С_Р (резонанс напряжений).

Содержание отчета

1. Электрические схемы с обозначениями приборов.

2. Расчет параметров последовательных цепей переменного тока.

3. Таблицы измеренных и вычисленных величин.

4. Графики зависимостей I(C), U_K(C), U_C(C), Р(C), cos φ(C).

5. Векторные диаграммы.

Контрольные вопросы

1. Как обозначается реальная катушка индуктивности и конденсатор на электрической схеме?

2. Можно ли измерить активное и индуктивное напряжения, падающие на катушке?

3. Что покажет ваттметр, установленный в цепи переменного тока с конденсатором?

4. Что необходимо знать для вычисления индуктивности катушки и емкости конденсатора, если известны их индуктивное и емкостное сопротивления?

5. Как изменятся активное и индуктивное сопротивления катушки при изменении частоты питающего тока?

6. Как изменяется сопротивление конденсатора при увеличении его емкости?

7. Почему косинус угла сдвига фаз между напряжением и током называется коэффициентом мощности?

8. Можно ли вычислить коэффициент мощности по треугольнику сопротивлений?

9. Чему равно активное сопротивление конденсатора?

10. Чему равен коэффициент мощности в схеме с конденсатором?

11. Какое условие должно выполняться в схеме с последовательным соединением R, Х_L и Х_C для получения резонанса напряжений?

12. Чему равен коэффициент мощности цепи при резонансе напряжений?

13. Почему явление в последовательной цепи переменного тока, когда ее полное сопротивление минимально, называется резонансом напряжений?

14. Какими способами можно получить резонанс напряжений в последовательной цепи переменного тока?

15. Какую мощность измеряет ваттметр?

16. При каком условии все напряжение, приложенное к зажимам последовательной RLC-цепи будет падать на активном сопротивлении?

17. Как и почему изменяется активная мощность в последовательной RLC-цепи при изменении емкости конденсатора?

18. Может ли в последовательной RLC-цепи протекать один и тот же ток при различных значениях емкости конденсатора?

19. Как изменится ток в последовательной RLC-цепи при переключении ее с переменного напряжения на постоянное той же величины?

20. В каких единицах измеряются активная, реактивная и полная мощность цепи переменного тока?

Таблица 4

Таблица 5