Примеры решения задач. Графические работы, пронумерованная числами первой сотни (с 161 по 199), и графические работы, пронумерованная числами второй сотни (с 261 по 299)

Позиционные задачи

Графические работы, пронумерованная числами первой сотни (с 161 по 199), и графические работы, пронумерованная числами второй сотни (с 261 по 299), содержат по три задачи. Решение этих задач должно быть выполнено непосредственно на листах, содержащих условия задач (см. файл ЗАДАНИЕ). При этом условия задач должны быть формата А4. Обязательным требованием к копиям является максимально точное повторение графических условий оригинала. Все построения выполняются простым карандашом и сохраняются. Ответ задачи выделяется цветным карандашом. На каждом из листов в правом нижнем углу указывается фамилия студента и группа, в которой он числится.

Предоставляемые студентами работы не требуют текстовых пояснений. Однако для более глубокого понимания решений в приводимых примерах графические построения сопровождаются развернутыми пояснениями.

Примеры решения задач

Пример 1 (рис. 1.1).

Задача 1. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF, соблюдая условия видимости.

Анализируя графические условия задачи, можно видеть, что и горизонтальная abc, и фронтальная a’b’c’ проекции треугольника АВС представляют треугольники. Следовательно, плоскость АВС – плоскость общего положения. Горизонтальная проекция треугольника DEF – треугольник def , но фронтальная проекция треугольника DEF – отрезок d’f’. Последнее обстоятельство позволяет придти к заключению: плоскость DEF перпендикулярна к фронтальной плоскости проекции (фронтально-проецирующая плоскость).

Рис. 1.1

Прямая, по которой пересекаются заданные плоскости, принадлежит обеим плоскостям, в частности, и плоскости DEF. Поэтому фронтальная проекция искомой прямой должна совпадать с фронтальной проекцией d’f’, в которую проецируется все множество точек плоскости DEF. Отсюда следует, что фронтальной проекцией линии пересечения мы уже располагаем, и остается достроить лишь ее горизонтальную проекцию.

Проекцию можно достроить по точкам М и N пересечения сторон треугольника АВС с плоскостью DEF: фронтальные проекции m’ и n’ очевидны, а горизонтальные проекции m и n располагаются на соответствующих проекциях сторон треугольника АВС.

Определение видимости значительно упрощается наличием фронтально-проецирующей плоскости. На фронтальной проекции треугольник АВС виден весь, за исключением линии пересечения. На горизонтальной проекции видна та часть треугольника АВС (треугольник АМN), которая выше плоскости DEF.

Задача 2. Построить проекции прямой, проходящей через точку С и пересекающей прямую АВ и ось проекций ОХ.

Ось проекции ОХ перпендикулярна к профильной плоскости проекций. После построения профильных проекций прямой АВ и точки С можно утверждать, что любая прямая, проходящая через точку С и пересекающая ось ОХ, должна иметь профильную проекцию, проходящую через точки c” и О. Такая прямая пересекает ось ОХ в некоторой точке D, имеющей профильную проекцию d”. Если эта прямая пересекает прямую АВ, то точка e” – профильная проекция точки Е пересечения прямой АВ и прямой CD. Определив фронтальную e’ и горизонтальную e проекции, располагающиеся на соответствующих проекциях прямой АВ, получаем возможность построить недостающие проекции прямой ED. Контролем точности графических построений может служить совпадение горизонтальной d и фронтальной d проекций точки D.

Задача 3. Построить проекции треугольника АВС, если сторона ВС лежит на прямой MN, параллельной плоскости Н, а сторона АС параллельна плоскости V. Основание D высоты AD делит сторону ВС в отношении çBDç : çDCç = 1 : 2.

Поскольку прямая MN параллельна горизонтальной плоскости проекций, то, в соответствии с теоремой о частном случае проецирования прямого угла, прямой угол на плоскость Н проецируется без искажения. Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую MN , будет иметь горизонтальную проекцию ad ^ mn, где d – горизонтальная проекция точки D, в которой перпендикуляр AD пересекает прямую MN.

Поскольку сторона АС параллельна плоскости V, то горизонтальная проекция стороны должна быть направлена параллельно оси ОХ, а в безосном чертеже – перпендикулярно к линии связи. Пересечение проведенной прямой с прямой MN позволяет найти точку С (проекции с и с’ ) - вторую вершину треугольника.

В соответствии с условием задачи, расстояние от точки D до вершины В вдвое меньше расстояния от точки D до точки С. Поэтому отрезок CD следует разделить пополам, и одну из его частей отложить на прямой MN. Если в пространстве точка делит отрезок в некотором отношении, то проекции точки делят проекции отрезка в том же отношении. Следовательно, для осуществления намеченных действий можно воспользоваться одной из проекций. На чертеже отрезок cd поделен пополам, найдена его середина 1 и отрезок 1d отложен на прямой mn, что позволило определить горизонтальную b, а затем и фронтальную b’ проекции вершины В. Конечно, для подобных построений можно было бы воспользоваться фронтальной проекцией, но это потребовало дополнительно построить фронтальную d’ проекцию точки D.

Пример 2 (рис. 1.2).

Задача 1. Достроить горизонтальную проекцию плоского четырехугольника ABCD.

Построение недостающей проекции точки В следует основывать на признаке принадлежности точки плоскости: точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей плоскости. Поэтому через точку В мысленно следует провести прямую, принадлежащую плоскости четырехугольника, построить проекции этой прямой и найти недостающую проекцию точки.

Для осуществления намеченного плана можно воспользоваться многими прямыми, проходящим через точку В, однако наиболее удобным представляется использование диагонали BD. Фронтальная проекция b’d’ очевидна, а для построения горизонтальной проекции следует вначале выяснить направление последней. Учитывая, что задан плоский четырехугольник, можно провести проекции диагонали АС. Диагонали четырехугольника пересекаются, точки 1’ и 1 соответственно фронтальная и горизонтальная проекции точки пересечения. Проведя прямую че-рез точки d и 1, выясним направление горизонтальной проекции диагонали, на которой располагается горизонтальная проекция b точки В. Остается завершить построение горизонтальной проекции четырехугольника.

Примечание. Если считать фронтальные проекции a’b’ и c’d’ сторон АВ и CD параллельными между собой, то, учитывая, что это – стороны плоского четырехугольника, занимающие общее положение относительно плоскостей проекций, следует заключить, что стороны АВ и CD параллельны в пространстве. Такие прямые должны иметь параллельные между собой горизонтальные проекции. Проведя из точки a прямую, параллельную cd, и определив точку b можно соединить ее с точкой с, завершив решение задачи.

Задача 2. Построить проекции прямой, проходящей через точку С и параллельную отрезку АВ.

Если прямые в пространстве параллельны, то параллельны их одноименные проекции. Однако судить по чертежу о взаимном положении прямых, занимающих частное положение относительно плоскостей проекций, можно только в том случае, если имеется проекция прямых на ту плоскость, которой прямые параллельны.

Прямая АВ – профильная прямая, поэтому для решения задачи необходимо располагать профильными проекциями прямой и точки С. Построив с помощью постоянной линии чертежа проекции a”b” и c”, следует через точку c” провести прямую, параллельную a”b”. Зафиксировав профильную проекцию d”, произвольно выбранной точки D, и учитывая, что [ab] çç [cd], а [a’b’] çç [c’d’] следует закончить построения.

Задача 3. Построить проекции равнобедренной трапеции ABCD, основание AD которой равно 40 мм, а основание ВС равно 80 мм и расположено на прямой MN, параллельной плоскости Н.

Рассмотрим вначале решение задачи при планометрическом задании условий (см. чертеж в правом верхнем углу). Если прямая MN и точка А располагаются в плоскости чертежа, то из точки А следует провести луч, параллельный прямой MN, и отложить на нем 40 мм. Конец этого отрезка – точка D. От оснований Е и F перпендикуляров, опущенных из точек А и D на прямую MN, следует отложить отрезки ВЕ и СF, равные 20 мм. Получим равнобедренную трапецию АВСD с основаниями çАDç = 40 мм и çВСç = 80 мм.

Переходя к решению задачи на чертеже, отражающем пространственную ситуацию, следует учесть, что план решения, рассмотренный выше, не может измениться, но реализация этого плана должна учитывать закономерности проецирования отрезков прямых и углов между прямыми. Поскольку параллельные прямые изображаются параллельными одноименными проекциями, то из точек a и a’ можно провести лучи, параллельные соответственно (mn) и (m’n’). Прямая MN параллельна горизонтальной плоскости проекций, поэтому отрезки этой прямой, а также прямых ей параллельных, проецируются на плоскость Н без искажения. На луче из точки a следует отложить отрезок, равный 40 мм, конец которого даст проекцию d. В проекционной связи на луче из a’ находим проекцию d’.

Поскольку (MN) ççН, то, по теореме о частном случае проецирования прямого угла, прямые углы в основании перпендикуляров, проведенных к этой прямой из точек А и D, должны на горизонтальную плоскость проекций проецироваться без искажения. Поэтому из точек a и d проводим перпендикуляры к (mn). От точек e и f откладываем отрезки be и cf, равные 20 мм. По горизонтальным проекциям b и c достраиваем проекции b’ и c’. Проведя проекции прямых АВ и СD, завершаем решение задачи.