Примеры решения задач. Задача 1. Построить проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС с плоскостью, заданной параллельными прямыми DE и FG

Пример 1 (рис. 2.1).

Задача 1. Построить проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС с плоскостью, заданной параллельными прямыми DE и FG, соблюдая условия видимости.

Заданные плоскости занимают общее положение относительно плоскостей проекций, поэтому алгоритм, регламентирующий порядок решения подобных задач, должен быть использован в полном объеме.

Две плоскости пересекаются по прямой, для построения которой надо найти проекции двух точек, общих для заданных плоскостей. Одна из точек найдена следующим образом. Введена горизонтально-проецирующая плоскость Т₁,заданная следом T_1h. Эта плоскость пересекает плоскость параллельных прямых по прямой 1⁰2⁰ (проекции 1-2 и 1’2’), а плоскость треугольника – по прямой 3⁰4⁰ (проекции 3-4 и 3’4’). Прямые 1⁰2⁰ и 3⁰4⁰ пересекаются, поскольку лежат в одной и той же плоскости Т, и точка М (проекции m и m’) является общей для трех плоскостей: Т, АВС и {DE ççFG}. В этом утверждении следует обратить внимания, что точка М является общей для плоскостей АВС и {DE ççFG}, т.е. точка М – одна из точек прямой, по которой пересекаются заданные плоскости.

Для определения проекций второй точки линии пересечения плоскостей можно выяснить проекции точки, в которой прямая DE пересекает плоскость треугольника АВС. Заключим прямую DE в горизонтально-проецирующую плоскость Т₂, задав ее следом T_2h. Эта плоскость пересекает плоскость треугольника по прямой 5⁰6⁰ (проекции 5-6 и 5’6’). Прямые DE и 5⁰6⁰ пересекаются, поскольку лежат в одной и той же плоскости Т₂, и точка N (проекции n и n’) является общей для прямой DE и плоскостью АВС, т.е. является точкой пересечения прямой DE и плоскостью АВС, а также второй точкой, по которой пересекаются плоскости АВС и {DE ççFG}.

Рис. 2.1

Соединив одноименные проекции точек М и N прямыми линиями, получим проекции линии пересечения заданных плоскостей.

Будем считать что одна из плоскостей ограничена треугольником АВС, а другая – расстоянием между параллельными прямыми DE и FG. Определим видимость этих плоскостей относительно плоскостей проекций. Для определения видимости относительно горизонтальной плоскости проекций рассмотрим видимость конкурирующих точек 5⁰ и 7⁰. Из взаимного расположения фронтальных проекций 5’ и 7’ следует, что точка 5⁰, принадлежащая стороне АВ, находится выше точки 5⁰, принадлежащей прямой DE, из чего можно сделать заключение: на горизонтальной проекции мы видим точку 5⁰ (и прямую АВ), а точка 7⁰ (и прямая DE в этом месте) закрыта точкой 5⁰. Для определения видимости относительно фронтальной плоскости проекций можно рассмотреть видимость конкурирующих точек 8⁰, принадлежащей прямой АВ, и 9⁰, принадлежащей прямой FG. Из взаимного расположения горизонтальных проекций 8 и 9 следует, что точка 9⁰ находится дальше от фронтальной плоскости проекций, чем точка 8⁰. Поэтому на фронтальной проекции мы будем видеть точку 9⁰ (и прямую FG), а не точку 8⁰ (и прямую АВ). Показав видимые участки прямых сплошными основными линиями, а невидимые – тонкими штриховыми линиями, следует закончить графическое оформление задачи.

Задача 2. Построить проекции плоскости, проходящей через точку М и параллельную плоскости, заданной точкой А и прямой ВС.

Решение задачи должно отвечать признаку параллельности двух плоскостей: две пересекающиеся прямые одной плоскости должны быть параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Поэтому плоскость, проходящую через точку М, целесообразно задать двумя пересекающимися прямыми, параллельными двум пересекающимися прямыми плоскости {А,(ВС)}. Поскольку последняя задана точкой и прямой, необходимо в плоскости {А,(ВС)} провести какую-либо прямую, пересекающую прямую ВС. Проще всего такую прямую провести через точку А, например, прямую AD, пересекающую (ВС) в точке 1⁰. Тогда искомую плоскость можно задать двумя лучами: [MN) çç(ВС) и [MK) çç[AD).

Задача 3. Построить проекции прямоугольника ABCD, вершина А которого принадлежит прямой EF, а сторона ВС расположена на луче ВМ и равна 50 мм.

Пространственный план решения задачи состоит в том, что к лучу ВМ из точки В следует восставить перпендикуляр, пересекающий прямую EF в точке А. На луче BM надо отложить отрезок, равный 50 мм, конец которого будет являться вершиной С прямоугольника. Из точек А и С провести прямые, параллельные соответственно отрезкам ВС и АВ. Пересечение проведенных прямых в точке D завершит построение прямоугольника.

Реализуем разработанный пространственный план на предлагаемом чертеже. Множество перпендикуляров к лучу BM, проходящих через точку В, представляет плоскость, перпендикулярную к ВМ и проходящую через точку В. Точка пересечения такой плоскости с прямой EF определит точку А, и даст возможность построить сторону АВ. Руководствуясь правилом изображения проекций перпендикуляра к плоскости, зададим плоскость горизонталью и фронталью, направив горизонтальную проекцию горизонтали перпендикулярно к (bm), а фронтальную проекцию фронтали перпендикулярно к (b’m’). Для определения проекций точки пересечения прямой EF с заданной плоскостью заключим прямую EF в горизонтально-проецирующую плоскость Т, задав ее следом T_h. Плоскость Т пересекает плоскость, заданную фронталью и горизонталью, по прямой 1⁰2⁰ (проекции 1-2 и 1’2’). Пересечение прямой 1⁰2⁰ с прямой EF дает возможность определить проекции a’ и a точки А. Соединив одноименные проекции точек А и В прямой получим проекции стороны АВ.

Прямая ВМ занимает общее положение относительно плоскостей проекций, поэтому отрезки этой прямой проецируются с искажением. Для того, чтобы на луче ВМ можно было отложить 50 мм, следует преобразовать чертеж таким образом, чтобы луч стал параллелен какой-либо плоскости проекций, и, следовательно, отрезки, откладываемые на [BM), проецировались без искажения. Как один из возможных способов преобразования можно использовать способ вращения. Произвольным образом на луче ВМ зафиксируем точку 3⁰ (проекции 3 и 3’). Полагая, что ось вращения перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций и проходит через точку В, повернем отрезок В3⁰ в положение В3₁⁰ (проекции b3₁ и b’3₁’). Теперь отрезок параллелен фронтальной плоскости проекций, величины отрезков проецируются на фронтальную плоскость без искажения, и на прямой b’3’ можно отложить отрезок b’c₁’, равный 50 мм. При обратном вращении проекции точки С займут положение c’ и с.

Проведя из проекций точек А и С прямые, параллельные соответствующим проекциям противоположных сторон прямоугольника и определив точки их пересечения, получим проекции d и d’ точки D. Контролем точности выполненных построений может служить расположение проекций d и d’ на одной линии связи.

Пример 2 (рис. 2.2)

Задача 1. Вращением вокруг оси О₁О₂ ввести точку А на поверхность цилиндра.

Ось О₁О₂ перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, поэтому плоскость вращения Р, заданная на чертеже следом P_h, параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, окружность радиуса R_вр, по которой точка А двигается при вращении, на фронтальную плоскость проецируется без искажения.

Все образующие прямого кругового цилиндра перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций, поэтому все множество точек цилиндрической поверхности на фронтальную плоскость проецируется в виде окружности.

После введения точки А на поверхность цилиндра точка должна принадлежать как окружности, описываемой точкой при вращении, так и поверхности цилиндра, потому фронтальная проекция такой точки есть точка пересечения проекции окружности радиуса R_вр с фронтальной проекцией цилиндрической поверхности.

Рис. 2.2

Задача имеет два решения, поскольку окружность, по которой вращается точка А, дважды пересекает поверхность цилиндра – в точках А₁ и А₂. Фронтальным проекциям a’₁ и a’₂ соответствую горизонтальные проекции a₁ и a_2, лежащие на следе P_h. Видимой является только горизонтальная проекция a₂ точки А₂.

Задача 2. Достроить горизонтальную проекцию сферы с центром О, срезанной фронтально-проецирующими плоскостями.

Любая плоскость (за исключением касательной) пересекает сферу по окружности. Однако проекции этих окружностей могут выглядеть по-разному: если плоскость окружности параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется на эту плоскость без искажения; если плоскость окружности перпендикулярна к плоскости проекций, то окружность проецируется на нее в виде отрезка; в остальных случаях окружность проецируется в виде эллипса.

Поскольку заданные в задаче плоскости перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций, то окружности, лежащие в этих плоскостях, проецируются на фронтальную плоскость в виде отрезков, ограниченных проекциями концов отрезков, по которым пересекаются плоскости окружностей. Горизонтальная окружность с центром С (проекции c и c') без искажения проецируется на горизонтальную плоскость проекций, и ограничена точками 1⁰ и 1⁰₁. Окружность с центром Р (проекции p и p'), ограниченная точками 2⁰2⁰₁, лежит в профильной плоскости, поэтому на горизонтальную плоскость проекций проецируется в виде отрезка. Плоскость с центром Q (проекции q и q'), расположенная наклонно к горизонтальной плоскости проекций, проецируется на нее в виде эллипса. Эллипс касается экватора сферы в точках 3⁰ и 3⁰₁. Горизонтальная проекция любой точки этой кривой может быть найдена из соображений принадлежности точки сфере. Например, через произвольно выбранные точки 4⁰ и 4⁰₁ (фронтальные проекции 4' и 4₁') проведена горизонтальная окружность, построена горизонтальная проекция окружности, на которой найдены горизонтальные проекции 4 и 4' точек 4⁰ и 4⁰₁.

Задача 3. Построить проекции равнобедренного треугольника АВС, основание ВС которого расположено на прямой MN, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и вдвое больше опущенной на него высоты.

Если бы искомый треугольник располагался в плоскости чертежа, следовало из точки А опустить перпендикуляр на прямую MN до пересечения в точке D, а отрезок AD отложить на прямой MN по обе стороны от точки D. Полученные таким образом вершины треугольника В и С соединить с точкой А.

При построении проекций треугольника, отражающих пространственную ситуацию, каждое действие должно основываться на правилах начертательной геометрии. Поскольку прямая MN параллельна горизонтальной плоскости проекций, по теореме о частном случае проецирования прямого угла, прямой угол должен на горизонтальную плоскость проецироваться без искажения. Поэтому из точки a можно опустить перпендикуляр на mn до пересечения в точке d, и построить фронтальную проекцию a'd' высоты AD. Отрезки горизонтальной прямой MN на горизонтальную плоскость проецируются без искажения, но высота AD занимает общее положение, и в исходной системе плоскостей проекций проецируется с искажением. Для определения натуральной величины отрезка AD следует преобразовать чертеж так, чтобы отрезок стал параллелен какой-либо плоскости проекций. Один из возможных вариантов - выполнить замену плоскостей проекций: перейти от системы V,H к системе H,S, расположив плоскость S параллельно [AD]. Проекция a_sd_s отрезка AD на плоскость S соответствует истинной величине отрезка, поэтому [a_sd_s] следует отложить на горизонтальной проекции mn по обе стороны от точки d, и получить горизонтальные проекции b и с вершин треугольника. Достроив фронтальные проекции b' и c', а также соединив одноименные проекции вершин, получим требуемые проекции треугольника АВС.