Примеры решения задач. Заданы горизонтальная и фронтальная проекции прямых круговых конусов с вершинами S1 и S2

Пример 1 (рис. 3.1).

Заданы горизонтальная и фронтальная проекции прямых круговых конусов с вершинами S₁ и S₂. Требуется построить профильную проекцию заданных поверхностей, а также проекции их линии пересечения.

Пересекающиеся поверхности имеют фронтальную плоскость симметрии. Отсюда следует, что искомая линия пересечения также будет симметрична относительно этой плоскости, и фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения будут совпадать.

Очерковые образующие конусов, лежащие во фронтальной плоскости симметрии, пересекаются, что позволяет найти проекции двух характерных точек: самой низкой точки 1⁰ (проекции 1 и 1') и самой высокой точки 2⁰ (проекции 2 и 2') линии пересечения. Для построения проекций промежуточных точек следует использовать алгоритм построения линии пересечения поверхностей, рассмотренный в теоретической части курса.

Выбирая для решения данной задачи вспомогательные поверхности, пересекающие заданные, целесообразно остановиться на горизонтальных плоскостях. Введем плоскость Т₁, задав ее следом T_1v. Плоскость пересекает конус с вершиной S₁ по окружности с радиусом r₁, а конус с вершиной S₂ - по окружности с радиусом R₂, причем радиусы этих окружностей проецируются на фронтальную плоскость без искажения. Окружности, лежащие в плоскости Т₁ пересекаются в точках, общих для заданных конических поверхностей, т.е. являются одними из точек искомой линии пересечения. Построив горизонтальные проекции окружностей с радиусами r₁ и R₂, можно определить проекции 3 и 3₁. Фронтальные проекции 3' и 3₁^' совпадают и располагаются на следе T_1h (на проекциях окружностей с радиусами r₁ и R₂).

Для построения проекций других точек линии пересечения следует вводить новые вспомогательные горизонтальные плоскости, располагающиеся не ниже точки 1⁰ и не выше точки 2⁰, и повторять описанные выше построения. Так введение плоскости Т₂, заданной следом T_2v, позволяет построить окружности с радиусами R₁ и r₂. Пересечение окружностей определяет проекции точек 4⁰ и 4⁰₁.

Рис. 3.1

Закрытая основанием конуса с вершиной S₂, линия пересечения на горизонтальной плоскости проекции не видна.

Располагая горизонтальной и фронтальной проекциями пересекающихся поверхностей, а также проекциями линии пересечения, можно построить профильную проекцию конусов. При этом следует обратить внимание на проекции двух пар характерных точек: точки 5⁰ и 5⁰₁ линии пересечения принадлежат профильным образующим конуса с вершиной S₁, а точки 6⁰ и 6⁰₁ - профильным образующим конуса с вершиной S₂. Следовательно, в точках 5" и 5₁^" профильная проекция линии пересечения касается проекций соответствующих образующих конуса с вершиной S₁, а в точках 6" и 6"₁ - образующих конуса с вершиной S₂.

Ось конуса с вершиной S₂ находится дальше от профильной плоскости проекций (и ближе к наблюдателю), чем ось конуса с вершиной S₁, поэтому видимость заданных поверхностей определяет поверхность конуса с вершиной S₂. Образующие последнего существуют от основания конуса до точек 6⁰ и 6⁰₁, ограничивая видимость профильной проекции линии пересечения участком 6"1"6₁". Точки 5⁰ и 5⁰₁ являются границами существования профильных образующих конуса с вершиной S₁. Часть этих образующих остается невидимой, поскольку закрыта другим конусом.

Пример 2 (рис. 3.2).

Задана горизонтальная и фронтальная проекции тора с осью О₁О₂ и проекции прямого кругового цилиндра с осью I₁I₂. Требуется построить профильную проекцию заданных поверхностей, а также проекции их линии пересечения.

Оси обеих поверхностей вращения перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций и задают профильную плоскость симметрии, относительно которой будет симметрична и искомая линия пересечения. Следовательно, на профильной проекции видимая и невидимая части линии пересечения будут совпадать.

Все образующие прямого кругового цилиндра перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций, поэтому все множество точек цилиндрической поверхности, включая искомую линию пересечения, на горизонтальную плоскость проекций проецируется в виде окружности. Это означает, что горизонтальной проекцией линии пересечения мы располагаем, и остается достроить фронтальную и профильную проекции.

Для построения фронтальной проекции линии пересечения следует учесть, что точки этой линии принадлежат не только цилиндру, но и тору, поэтому фронтальные проекции точек можно строить как недостающие проекции точек, лежащих на торе. Например, на поверхности тора провести некоторую окружность m⁰ (проекции m и m') с радиусом R, отметить горизонтальные проекции 1 и 1₁, а затем найти фронтальные проекции 1' и 1₁'.

Рис. 3.2

Однако методически правильным является начинать построения с определения проекций характерных точек. Такими точками являются самая низкая 2⁰ и самая высокая 3⁰ точки линии пересечения, точки 4⁰ и 4₁⁰, лежащие на главном меридиане тора и определяющие границы существования меридиана, а также точки 5⁰ и 5₁⁰, ограничивающие существование очерковых образующих цилиндра на фронтальной проекции.

Поскольку цилиндр выдвинут вперед относительно тора, то видимость на фронтальной проекции определяет поверхность цилиндра. В точках 5' и 5₁' проекция линии пересечения касается очерков цилиндра и теряет видимость, а в точках 4' и 4₁' линия касается очерков тора.

Располагая горизонтальной и фронтальной проекциями любой точки заданных поверхностей, можно построить их профильную проекцию, включая проекцию линии пересечения.