Мощность в комплексной форме.

Возьмем , тогда , так как Ψ_u – Ψ_i = φ, то:

, , тогда

P Q

- модуль комплекса полной мощности

1. , A

2. ð

Трёхфазные цепи. Основные понятия.

В электротехнике термин «ФАЗА» применяется в двух различных смыслах:

-Это параметр периодического процесса (аргумент синусоидально меняющейся функции;

-Наименование составной части многофазной системы (однофазная цепь, входящая в состав многофазной).

Объединение в одну цепь нескольких подобных по структуре целей синусоидального тока одной частоты с независимыми источниками энергии широко применяется в технике. Объединяемые цепи принято называть фазами, а всю объединяемую систему – многофазной системой.

Наибольшее распространение на практике получила трехфазная система. Это объясняется рядом ее преимуществ:

1. Экономичность производства и передачи (меньшее сечение проводов – до 25%)

2. Возможность сравнительно простого получения вращающегося магнитного поля (которое лежит в основе работы АД – самого распространенного двигателя переменного тока) – с помощью неподвижных обмоток трехфазный ток создает вращающееся магнитное поле.

1. Получения в одной установке двух эксплуатационных

напряжений – фазного и линейного (при 4-х проводной системе)

3фазный переменный

ток может быть получен

при помощи 3 витков

вращаемых в однородном

магнитном поле с

если ветки сдвинуты друг

относительно друга под 120

На практике для получения трехфазного тока в пазах статора генератора переменного тока помещают трехфазные обмотки, сдвинутые в пространстве друг относительно друга на 120о. Они называются фазными обмотками.

Начала и концы обмоток обозначают соответственно A,B,C и X,Y,Z, а сами обмотки называют фазами

Модель трехфазного генератора

2. По закону электромагнитной индукции в обмотках наводятся ЭДС

eA = Em*sinwt

eB = Em*sin(wt-120o)

e_C = Em*sin(wt-240o)

4. Комплексные числа

EA = E*ejo= EA

EB = E*e-j120o= E*[cos(-120o) + j*sin(-120o)] = E(-1/2 – j*Ö3/2)

EC = E*ej120o= E(-1/2 + j*Ö3/2)

На комплексной плоскости:

		либо

Т.о. под трехфазной системой понимают совокупность переменных э.д.с. (токов, напряжений) одной частоты, равных по амплитуде,и сдвинутых по фазе относительно друг друга на 120о.

Трехфазная система может изображаться:

1) графиками;

2) тригонометрическими функциями;

3) векторами;

4) функциями комплексной системы.

Для симметричной трехфазной системы: ЕА + ЕВ + ЕС = 0

Система, в которой фаза В отстает по фазе от фазы А, а фаза С от э.д.с. фазы В называется прямой последовательностью фаз, если изменить последовательность, то последовательность будет называться обратной.

Поскольку на практике применяется прямая последовательность фаз, мы будем рассматривать только такую.

На схемах обмотку (или фазу) источника питания изображают следующим образом:

Несвязная шестипроводная система – на практике не применяется в виду большого количества проводов. Каждая фаза соединена 2 проводами, между собой фазы электрически не соединены.

Более совершенными и экономичными являются связанные цепи, в которых фазы обмотки соединены электрически.

Соединение фаз может быть различным: треугольник « » ,звезд « », зигзаг «U»

Наибольшее распространение на практике получили соединения: U,

предложенные М.О.Доливо-Добровольским в начале 90-х годов прошлого века.

Соединение «звездой»

Если все концы фаз (X, Y, Z) соединить вместе, а оставшиеся 3 провода присоединить к линейным проводам, то получим соединение “Y”.

Нулевая точка Г – (N)

Нулевая точка потребителя потребителя – (n)

Провод, соединяющий нулевые точки, называется нейтральным. Остальные три провода – линейные.

Ток в нейтральном проводе Io = IA + IB + IC = 0

при симметричной трехфазной системе, т.е. z_A = z_B = z_C !

Напряжение между нейтральным проводом и любым из линейных проводов – называется фазным напряжением : Uф (UA, UB, UC).

Напряжение между любыми двумя линейными проводами называется линейным : Uл (UAB, UBC, UCA).

Э.д.с. фазных обмоток генератора Eф (EA; EB; EC)

EA = Em

EB = Em*e^-j120o= Em[(-1/2) – jÖ3/2]

Ec = Em*e^j120o= Em[(-1/2) + jÖ3/2]

EA + EB +EC = 0

Пренебрегая сопротивлением обмоток Г и провода можно записать, что

EA = UA; EB = UB; EC =UC

UAB = UA – UB

UBC = UB – UC

UCA = UC – UA

При симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе = 0, поэтому этот провод можно убрать (например, включение трехфазных двигателей, трансформаторов и т.д.).

При несимметричной нагрузке по нейтральному проводу потечет определенный ток (равный геометрической сумме фазных токов).

Т.к. по фазным проводам протекает такой же ток, что и по линейным, то

Определим соотношение между Uф и Uл

При симметричной нагрузке: UA = UB = UC = Uф

Построим треугольник линейных напряжений и звезду фазных напряжений.

Если нагрузка несимметричная, то это условие не выполняется.

UA = EA – UNn Где UnN -- напряжение смещения нейтрали, которое может

UB = EB – UNn быть определено с использованием метода 2 узлов:

UC = EC – UNn UNn=YA*EA + YB*EB + YC*EC =

YA + YB + YC + Yn

= (Uл*(YA + a²YB + aYC)) / (Ö3*(YA +YB + YC +Yn))

Векторные диаграммы трехфазной системы, соединенной «звездой»

1. Равномерная (симметричная)

I_A = U_A/Z_A ; I_B = U_B/Z_B ; I_C = U_C/Z_C ;

cosj_A = cosj_B = cosj_C

2. Неравномерная (активная)

б)

U_Nn- узловое напряжение

Частные случаи (аварийные) в трехпроводной системе «звезда»

а) обрыв фазы «А»

(получим однофазную систему)

б) короткое замыкание фазы «А»

Трехфазная система, соединенная «треугольником».

Если конец одной фазы соединить с началом 2-й, конец 2-й с началом 3-й и конец 3-й с началом 1-й, то получим соединение «треугольником».

Линейные напряжения равны соответствующим фазным

По 1-у закону Кирхгофа:

IA = Iaв – Ica

IB = Iвc – Iaв

IC = Ica - Iвc

Комплексные значения фазных токов:

Iaв = Uaв/Zaв ; Iвc = Uвc/Zвc ; Ica =Uca/Zca

Преимуществом соединения трехфазной системы по схеме «треугольник» является взаимная независимость фазных токов (при обрыве одного из линейных проводов, например В, напряжение фазы «ca» остается нормальным, а в 2-х других имеет место последовательное включение, фазы «ав» и «вс» находятся под напряжением в половину меньшим).

Изобразим треугольник линейных токов и звезду фазных токов для симметричной нагрузки:

из треугольника OBK: (Ic/2)/Iвc = cos30^o = Ö3/2

2) Для симметричной трехфазной системы

Векторные диаграммы трехфазной системы, соединенной «треугольником»

Несимметричная нагрузка

R_AB > R_BC > R_CA

I_A = I_ab - Ica

I_B = I_bc – Iab

I_A+I_B+I_C = I_ab-I_ca+I_bc-I_ab+I_ca-I_bc = 0

Таким образом, сумма линейных токов (при симметричной и несимметричной нагрузке) = 0.

Частные (аварийные) случаи

а) обрыв фазы «аb»

I_ab = 0I_A = -I_ca

I_B = I_bc

I_C = I_ca – I_bc

б) обрыв двух фаз: «ab» и «bc»

I_ab = 0 ; I_bc = 0 I_A = -I_ca

I_B = 0 I_A = -I_C

в) обрыв линейного провода : «В»

I_B = 0 I_bc = I_ab = ½*I_ac

I_A = I_ab – I_ca I_A = -I_C

I_C = I_ca – I_ab

Мощность трехфазной системы

Для однофазной системы P = Uф*Iф*cosj , Вт

Для симметричной нагрузки трехфазной системы: P3ф = 3Pф :

P3ф = 3Iф*Uф*cosj

“Y”: Iл = Iф ; Uл = Ö3Uф

P = 3I*(Uл/Ö3)*cosj = Ö3I*U*cosj ,Вт

P = Ö3Uл*Iл*cosj , Вт

S = 3Uл*Iл , ВА

“ “ Iл = Ö3Iф ; Uл = Uф

P = 3U*(Iл/Ö3)*cosj = Ö3I*U*cosj ,Вт

P = Ö3Iл*Uл*cosj

Таким образом,

P = 3Iф*Uф*cosj P = Ö3Iл*Uл*cosj

Q = 3Iф*Uф*sinj Q = Ö3Iл*Uл*sinj

S = 3Iф*Uф S = Ö3Iл*Uл

Эти формулы справедливы только для симметричной нагрузки

Активная мощность в трехфазных цепях при симметричной нагрузке, соединенных по схеме Y, а также при возможности включения последовательной обмотки ваттметра в фазную цепь электроприемников, соединенных «треугольником» может быть измерена одним прибором, указывающем фазную величину мощности:

Pф = Uф*Iф*cosj

“Y” “ “

P3ф = 3Pф

Если нет доступной нейтральной точки, применяют искусственную нулевую точку

rA + rВт = rB + rC

rВт – активное сопротивление параллельной обмотки ваттметра

При несимметричном режиме измерение активной мощности можно выполнить двумя однофазными ваттметрами или одним трехфазным двухэлементным прибором:

общая мощность – сумма показаний обоих ваттметров

P3ф = PAB + PCB

p = uA*iA + uB*iB + uc*ic

iA + iB + iC = 0

iB = (iA + iC)

P3ф = uA*iA – uB*(iA + iC) + uC*iC = uAB*iA + uC_Bic = PAB + PCB

Примеры трехфазной системы :

1) симметричный электроприемник – трехфазный двигатель с соединением трехфазных обмоток по схеме «звезда»