Линейный оператор. Эксперимент в математике.

Этот параграф не обязателен для понимания последующего материала, но давай проведем эксперимент – сначала я напишу несколько абзацев с формулами, а потом прокомментирую их:

Подобно тому, как функция является рецептом, по которому из данного числа «x» получается другое число y = f(x), так и «оператор» является рецептом, позволяющим по заданной функции φ(x) вычислить другую функцию:

ψ(x) = L[φ(x)]

Линейным оператором называется такой, который обладает следующими свойствами:

L[φ₁(x) + φ₂(x)] = L[φ₁(x)] + L[φ₂(x)]

L(aφ) = aL(φ)

где φ₁ , φ₂ , φ – произвольные функции, и «a» - произвольная постоянная.

Объектами применения линейных операторов могут быть функции как непрерывной переменной (например, координата), так и прерывной, принимающей только отдельные значения (например, порядковый номер орбиты электрона в атоме).

Типичным линейным оператором, действующим над функцией от непрерывной переменной «x», является умножение на «x». В этом случае переменная «x» играет двоякую роль: она входит, во-первых, как аргумент в f(x) и, во-вторых, является линейным оператором. И в самом деле:

x[φ₁(x) + φ₂(x)] = x[φ₁(x)] + x[φ₂(x)] , и кроме того x(aφ) = ax(φ)

Ну вот. Этот текст – типичный для учебников, в которых вводятся основные понятия из квантовой механики. Понятие линейного оператора для квантовой механики необходимо и удобно, поэтому его и вводят в употребление. Приведенный текст смотрится пугающе для тех, кто не очень привык к математике, то есть практически для всех. А теперь проведем эксперимент – я попробую рассказать все подробно, и мне кажется, я смогу разъяснить написанное выше так, что, когда после моих разъяснений ты прочтешь этот текст заново, ты будешь понимать вообще все, будешь понимать легко и без затруднений. И тогда ты сможешь испытать наслаждение от красоты лаконичности математических фраз. Это особенный тип наслаждения, и многое теряют те, кому оно недоступно в силу того отвращения, которое возникает к математике после школьного и институтского обучения. Эрик Роджерс в своем прекрасном трехтомнике «Физика для любознательных» пишет, что настоящий физик – это тот, кто может по двадцать раз бросать камень и следить за тем, как он падает вниз и испытывать при этом наслаждение от созерцания безупречного действия сил тяготения. Но и от математики можно получать наслаждение – это наслаждение от красоты лаконичности, точности и полноты.

Давай проверим – испытаешь ли ты это наслаждение, когда, прочтя мое подробное разъяснение, вернешься к математическим выражениям, написанным выше, и прочтешь их, понимая от первой буквы до последней.

Итак – первым делом разберемся с «функцией». Возьмем ряд натуральных чисел {1,2,3,4…} и так далее (примечание: такие числа называют «натуральными» - то есть такими, которые используются при подсчете каких-нибудь предметов). А теперь составим другой ряд чисел, который будет получаться не произвольным образом, а по строго определенному правилу: каждому числу из первого ряда поставим в соответствие число, равное этому числу, умноженному на 2. Итак, чтобы составить второй ряд чисел, мы берем числа первого ряда – одно за другим – и в соответствии с придуманным нами правилом составляем число за числом второго ряда. Число 1, умноженное на 2, дает нам 2, значит первым числом второго ряда будет 2. Аналогично получаем, что вторым числом второго ряда является 4, третьим – 6, четвертым – 8 и так далее. Значит, второй ряд будет таким: {2,4,6,8…}.

Но ведь это очень долго произносить такую длинную фразу: «число 2 является числом, которое получено из числа 1 согласно установленному нами правилу». Если такими фразами выражаться, вскоре мы начнем забывать начало фразы, доходя до ее конца:) Поэтому речь надо упростить. Число 2 назовем «функцией от 1», соответственно число 4 будет «функцией от 2». Конечно, 4 является функцией от 2 только в том случае, если правилом, которое мы придумали, является умножение на два. Если же мы зададим правило «умножать на три», то «функцией от 2» будет уже 6.

Само правило, которое мы придумали, обычно и называют «функцией». То есть в данном случае «функцией» является умножение на два.

Еще раз: когда мы встречаем слово «функция», то имеется в виду некое правило, согласно которому одному числу ставится в соответствие другое число.

Теперь введем термин «область определения функции». Это очень просто – областью определения функции мы называем то самое множество чисел, которое мы и подвергаем действию функции. Область определения может быть какой угодно – какую выберем. Например – бесконечное множество натуральных чисел 1,2,3,4 и т.д. Или это может быть всего лишь два числа – скажем – шесть и семь. И все. Или это может быть бесконечное множество всех действительных чисел между 2 и 3.

Если областью определения функции являются два числа: 3 и 4, то вопрос «чему равна функция от 2,5» лишен смысла – функция от числа 2,5 не определена, так как число 2,5 не является ни 3, ни 4, и значит не входит в область определения функции.

Теперь введем термин «область значений функции» - это то множество чисел, которое получается в результате применения функции. В первом нашем примере областью значения является бесконечный ряд чисел 2,4,6 и т.д., то есть множество всех четных чисел.

Необходимо учесть, что одному числу из «области определения функции» должно соответствовать только одно число из «области значения функции».

Ну и еще тут уместно ввести понятие «графика функции». Когда мы рассматривали экспоненту, мы уже сталкивались с понятием «координатных осей» - горизонтальной оси абсцисс («x») и вертикальной ординат («y»). На оси «x» мы будем откладывать числа из области определения данной функции, а по оси «y» - числа из области значений. Полученное множество точек и будет графиком данной функции на заданной области определения.

Можно говорить о «координатах» данной точки графика. Координатами является пара чисел: одно из области определения, и другое – из области значений. Записывается эта пара так: (2,4).

В первом нашем примере графиком будет множество точек с координатами (1,2), (2,4), (3,6), (4,8) и так далее. Вот такой вот график – множество точек. Легко видеть, что все эти точки лежат на одной прямой линии. И во втором примере графиком тоже будет множество точек (1,3), (2,6), (3,9), (4,12). И они тоже лежат на прямой линии, которая идет более круто, чем первая. Ты можешь нарисовать все это на бумаге и посмотреть. А вот если мы захотели бы, чтобы графиком функции было множество точек, которые лежат на прямой, идущей под углом 45 градусов к обоим осям координат, то каждому числу 1,2,3,4… надо поставить в соответствие точно такое же число, то есть множество значений этой функции будет точно таким же: 1,2,3,4…

Ну и чтобы совсем обойтись без лишних слов на бумаге, начнем обозначать слова символами. Слово «функция» заменим символом «f». Функцию f , заданную на некоторой области определений «x», обозначим как f(x), а область значений обозначим как «y». Теперь мы можем написать простейшую формулу общего вида: y=f(x).

Эта запись читается так: «игрек равняется эф от икс». И означает она следующее: каждому числу «x» ставится в соответствие число «y» согласно некоторому правилу.

Чтобы определить ту или иную функцию, мы, таким образом, должны, во-первых, указать правило, согласно которому некоему числу ставится в соответствие другое число, и во-вторых мы еще должны указать область определения этой функции, то есть мы должны указать – какие именно числа подвергаются преобразованию.

Например, функцию, указанную в первом нашем примере, можно записать так: y=2x, где «x» - натуральные числа. Здесь мы указали, прежде всего, правило преобразования: каждое число «x» должно быть умножено на 2, чтобы получилось число «y», и, во-вторых, мы определили область определения этой функции. Значит мы полностью определили функцию.

Введем еще несколько символов:

*) Множество натуральных чисел обозначается буквой «N».

*) Значок «» означает «входит в», или «является частью».

*) Значок «>» означает «больше», а «<» - меньше. Так что натуральные числа «x», определяемые правилом «x<4» - это 1,2 и 3.

*) «переменная величина», или просто «переменная» - это величина, которая может принимать любое из нескольких значений. Например число 2 – это просто 2 и никакое другое число, то есть это постоянная величина. Еще постоянные величины называют словом «константа». А если мы скажем, что «x є N», то это означает, что «x» - это переменная, которая может равняться любому натуральному числу. Еще говорят, что переменная «x» пробегает ряд значений, определенный как ряд натуральных чисел.

*) переменная может быть непрерывной – например, если мы определим переменную величину «x» как любое действительное число. Тогда между любыми двумя числами, скажем 0,001 и 0,002 мы можем указать еще сколько угодно значений для «x», например 0,0015 или 0,00154747 и т.д. Переменная может быть и прерывной, то есть такой, которая принимает лишь определенные значения, между которыми есть множество других чисел. Например, переменная, которая пробегает ряд натуральных чисел, является прерывной, так как между двумя соседними натуральными числами есть сколько угодно других чисел, на которых функция не определена.

Например зададимся вопросом: определяет ли функцию такая запись:

y=2x (x N, x<10), y=3x (x N, x>9)

Да, определяет. Для натуральных чисел от 1 до 9, каждому числу мы ставим в соответствие другое число согласно правилу y=2x, а для натуральных чисел от 10 и дальше действует правило y=3x. Функция, таким образом, определена. А что, если мы немного изменим ситуацию:

y=2x (x N, x<11), y=3x (x N, x>9)

Теперь мы можем сказать, что функция определена на области значений x<10 и x>10, а вот при «x=10» функция не определена, так как непонятно – то ли надо умножать 10 на два, то ли на три.

Вдаваться глубже в понятие функции нам сейчас не нужно, и мы перейдем, наконец, к операторам. Кстати, если прямо сейчас ты снова перечитаешь исходный текст, то обнаружишь, что многое стало там понятно. И в самом деле, ведь определение оператора почти ничем не отличается от определения функции: «оператор» является рецептом, позволяющим по заданной функции φ(x) вычислить другую функцию: ψ(x) = L[φ(x)].

Рассмотрим пример: возьмем функцию y=2x. А теперь определим другую функцию: ψ=xy Здесь переменная «ψ» определяется как произведение двух переменных: «x» и «y», и поскольку нам известно, что y=2x , мы можем написать: ψ=xy=x2x=2x²

Таким образом, оператор «умножить на переменную «х»» позволяет нам определить функцию ψ через ту же переменную «x», через которую была определена функция «y».

Легко убедиться, что оператор «умножить на икс» является линейным, так как выполняются два правила для линейных операторов. В самом деле: возьмем две функции: y=2x и z=x². Применим оператор «умножить на икс» к сумме этих двух функций, и получим: x(2x + x²). Можем мы раскрыть скобки? Конечно можем, и получим: x2x + xx². А ведь это и есть применение оператора «умножить на икс» для каждой из двух функций «y» и «z». То есть применение оператора «умножить на икс» к сумме двух функций равносильно сумме применения того же оператора к каждой функции отдельно. Легко видеть, что и второе требование к линейным операторам выполняется, значит «умножить на икс» - линейный оператор.

А теперь остается прочесть снова те фразы, которые были так непонятны вначале, и убедиться, что сейчас они стали понятными и совершенно не страшными. Я соглашусь, что мне не удалось, скорее всего, написать все так подробно, чтобы прямо каждому с первого раза все стало понятно – наверное, это и невозможно. Но я надеюсь, что в случае, если что-то осталось непонятным, ты можешь немного посидеть с ручкой и бумагой, перечитать этот параграф пару раз, и добиться все же полной ясности.

Множества.

Теория множеств – один из самых интересных, на мой взгляд, разделов математики. В школе начинают обучение с аналитических разделов – вводят понятие предела, интеграла, дифференцирования и т.д. Я уверен в том, что этот подход совершенно неэффективен. Конечно, методы матанализа необходимы и в физике и во многих других научных дисциплинах, но всяким новичком в математике они воспринимаются как слишком абстрактные, излишне сложные. В угоду утилитаризму приносится в жертву удовольствие. Я считаю, что именно с преподавания теории множеств и вершины ее – топологии – целесообразно начинать обучать математике, если ставить перед собой цель получение удовольствия, укрепления и развития интереса к математике.

Давай введем первые понятия о множествах. Когда мы рассматриваем несколько объектов (мы будем их называть «элементами»), то можно говорить о совокупности объектов, или о собрании объектов, или об их множестве. В математике принят термин «множество», поэтому в математике мы говорим о «множестве элементов».

Основатель теории множеств, известный немецкий математик 19-го века Георг Кантор определял понятие «множество» следующим образом: «множество — это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое». Еще он говорил так: «множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Элементы множества должны быть «чётко определены». Можно говорить о множестве сексуально раскованных девочек, или о множестве тех несчастных, кто по глупости своей считает обнаженное тело неприличным. Можно рассматривать множество бобров, живущих в озере, и о множестве тех психически нездоровых людей, которые считают возможным убивать животных просто ради забавы или наживы. Приведенные примеры множеств имеют то общее свойство, что они состоят из определенного количества элементов: бобров может быть пять, а психически нездоровых людей, именующих себя «охотниками», может быть пять тысяч. Конечно, трудно пересчитать всех тех, кто считает вид обнаженного тела непристойным – это заблуждение, граничащее с психическим расстройством, к сожалению очень распространено, но несомненно, что если бы мы нашли способ пересчитать таких людей, то число их было бы конечным, вполне определенным – например 6 миллиардов 589 миллионов 345 тысяч 324 человека (увы, слишком много, чтобы можно было рассчитывать на скорое излечение человечества от этой паранойи). Такие множества, состоящие из определенного количества элементов (которое, возможно, и нелегко установить) мы называем «конечными».

В математике, однако, мы нередко сталкиваемся с примерами таких совокупностей, которые состоят не из конечного числа элементов. Например множество всех натуральных чисел не имеет последнего числа – прибавив к якобы последнему числу единицу, мы получим следующее число, и так до бесконечности, поэтому такое множество мы называем «бесконечными».

(Существует ли на самом деле бесконечное количество чисел? На самом деле, вопрос этот не так прост, как кажется. Конечно, мы можем задать правило получения бесконечного количества натуральных чисел – прибавляй единицу за единицей, и всё. Но «задать правило создания», это еще не создать числа. Например, мы можем задать правило получения новых опоссумов – пусть они занимаются сексом друг с дружкой без ограничений, и пусть их потомство сохраняется и подкармливается, и их станет все больше, больше, больше… пока, наконец, вся земля не покроется опоссумами. Мы задали правило, но на практике оно никогда не реализуется, так как чем больше опоссумов, тем больше и еды для хищников, поедающих их, тем больше будет этих хищников. Более опустошительными будут и пандемии опоссумских заболеваний, и т.д. Но с числами то как обстоит дело? Да примерно так же. Что вообще означает фраза «число существует»? Можно ли, к примеру, говорить о том, что число существует, хотя мы никаким образом не можем ни назвать его, ни указать на него, ни обозначить как-то так, чтобы это обозначение отличалось от обозначения другого числа? Один плюс один – это способ получения числа, которое мы назовем «два». Отлично. А «два плюс один» мы обозначим как «три». Обозначение «три» отличается от обозначения «два», значит мы можем различать эти числа, пользоваться ими – это и значит, что числа эти существуют.

Наверное, к этому моменту ты не понимаешь – куда я клоню, ведь для любого числа можно придумать обозначение. Прибавляя и прибавляя по единичке, мы доберемся до записи 100, а потом 5848, а потом 395205373925 и так далее, без ограничений. Но в самом ли деле «без ограничений»?? Что вообще означает термин «обозначить»? Мы можем обозначить число с помощью написанных на бумаге знаков в десятичной системе счисления, или можем ничего на бумаге не писать, а сказать наименование числа вслух, или можем вовсе не пользоваться цифрами – например число 1 мы обозначим как «волк», а «волк + 1» – обозначим как собака, а 3 – как некий жест рукой и так далее. Конечно, пользоваться такими экзотическими системами обозначения чисел неудобно, если мы занимаемся вычислениями, а если мы занимаемся подсказками на экзамене – то удобно применять обозначение в виде жестов.

Так или иначе, если число существует, то это и означает, что мы можем его обозначить, отличить от других чисел, а «обозначить» – это означает поставить в соответствие этому числу некую комбинацию материальных частиц, будь до частицы чернил на бумаге или частицы, из которых состоят наши пальцы, согнутые каким-то определенным образом. И вот тут-то нас ожидает крайне странная вещь. Дело в том, что масса нашей Вселенной конечна. Если бы масса Вселенной была бы бесконечна, то бесконечной была бы и сила ее притяжения, то есть она мгновенно бы схлопнулась и самоуничтожилась. Вселенная состоит из частиц и полей, масса которых, как мы уже сказали, конечна. А если масса элементов, составляющих Вселенную, конечна, то конечно и количество этих элементов. А это означает, что число всевозможных комбинаций, которые мы можем составлять из конечного числа элементов, также конечно! Значит, бесконечного множества чисел существовать просто не может, так как начиная с некоторого очень большого числа мы попросту исчерпаем все комбинации способов записи.

Для того, чтобы каким-то образом разрешить этот парадокс, мы должны изменить математику. Например, мы должны убрать из нее понятие «бесконечности», введя понятие «очень большого числа». С точки зрения инженерных дисциплин ничего ровным счетом не изменится, но чистый матанализ, который целиком строится на понятии «бесконечности», зайдет в ужасный тупик, и интересно посмотреть – что же там получится. Или мы должны переопределить понятие «существования числа», постулировав, что число существует и тогда, когда задано правило его выведения несмотря на то, что начиная с некоторого числа уже нельзя будет создать такое число, которое не было бы одним из уже существующих.

Ни математиков, ни физиков эта проблема совершенно не интересует, и более того – если ты предложишь подумать над этим какому-нибудь математику или физику, они попросту снисходительно или раздраженно откажутся думать над этим. Так всегда бывает, это не удивительно).

Итак, мы познакомились с множествами, состоящих из конечного и бесконечного числа элементов. Возьмем множество, состоящее из двух элементов: чисел 2435 и 463. Уберем второй элемент. Мы получим множество, состоящее только из одного элемента – числа 2435. А что будет, если убрать и это число?? Будет пустота? Пустота в каком смысле? Если мы рассматриваем понятие «множества» как некую Вселенную, то когда последний элемент этой Вселенной исчезает, остается ничего, пустота. Является ли эта пустота множеством? Если да – то множеством чего? Вроде, глупо говорить о том, что множество без элементов является множеством – о каком множестве можно говорить, если нет никаких элементов? Но тут возникает сложность. Если множество, состоящее из двух элементов, вычесть из точно такого же множества, то есть состоящего из тех же самых элементов, то что получится? Ничего? А что это такое – «ничего», и как с ним работать? Вот у нас есть разные множества, и манипулируя ими мы в какой-то момент вдруг придем в тупик, так как получим «ничего»? С аналогичными проблемами мы уже сталкивались в мире чисел: есть два яблока, есть одно яблоко, а если убрать оставшееся одно яблоко, получится сколько яблок? Нисколько? Но что это такое: «нисколько»? Для простоты вычислений мы ввели понятие числа «ноль», обозначили его как «0» и с успехом пользуемся им, несмотря на то, что фраза «0 яблок» звучит, вообще говоря, бредово.

Точно так же, для удобства вычислений, мы вводим понятие «пустого множества» - это такое множество, в котором нет ни одного элемента. Получается, что в моей комнате есть пустое множество жирафов, носорогов, опоссумов, троглодитов, тираннозавров, экзопланет и одетых девочек. Много всего, как оказывается!! Так же, как «никакое число» мы обозначили символом «ноль» («0»), так же и «множество из никаких элементов» мы называем «пустым множеством» и обозначаем символом «».

Термин «бесконечность» мы обозначаем символом «∞».

В математике обычно множества обозначаются заглавными буквами: А,В,С,D и так далее, а элементы множеств мы обозначаем маленькими буквами. Нам уже знаком символ «», который означает «входит в множество», или «является частью множества». Запись «a B» (или, что абсолютно то же самое, запись «B a» означает, что «а» является элементом множества «B». Если элемент «х» не входит в множество В, мы пишем х В.

Число пять равно числу пять. Это очевидно. И если у нас в вычислениях есть две пятерки – то это одно и то же число «5». Нет двух разных пятерок – пятерка всегда одна (интересная параллель возникает с элементарными частицами, да? Ведь и они тоже совершенно тождественны друг другу). Аналогично, пусть у нас есть множество В={3,4} и множество F={3,4}. Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, мы говорим, что эти множества тождественны, или равны. И можно совершенно спокойно перестать использовать обозначение F и во всех случаях писать букву В для обозначения множества {3,4}. Или наоборот – использовать только букву F.

Введем еще один необходимый термин из теории множеств. Пусть A={2,3,4,5} (эта запись читается так: «множество А состоит из элементов: два, три, четыре и пять»). И пусть В={3,4}. Является ли каждый элемент множества B также и элементом множества А? Да, является - и число три, и число четыре входят во множество А. В таком случае говорят, что множество В является «подмножеством» множества А.

Если мы, к примеру, рассматриваем множество натуральных чисел N={1,2,3,4,…}, то множество A, состоящее из четырех элементов, больше (еще говорят – «шире») множества В, состоящего всего лишь из двух элементов. И если взять множество С={46,242424,5657575757}, то множество А по-прежнему будет больше множества С, так как А состоит из 4-х элементов, а С – только из трех. И не имеет никакого значения то, что сами по себе числа, из которых состоит множество С, намного больше чисел, из которых состоит множество А. Вот если мы будем сравнивать числа, мы скажем, что 46, конечно, больше чем 2. Но сравнивая множества А и С, являющиеся подмножествами множества N, мы говорим, что А больше С, так как А состоит из 4-х элементов, в то время как С – только из трех.

Довольно смешной ответ получается на следующий вопрос: «какое самое большое подмножество множества А»? Будем рассуждать логически, исходя из определения термина «подмножество». Самым большим подмножеством множества А будет такое, которое состоит из наибольшего числа элементов множества А, то есть - … из тех же самых четырех элементов! Получается, что самым большим подмножеством множества А является само множество А. А какое подмножество является самым маленьким (или «узким») подмножеством? Опять таки для удобства вычислений мы будем считать, что самым узким подмножеством любого множества является пустое множество.

Нам удобно обозначить каким-то отдельным термином такие подмножества, которые не являются ни самим исходным множеством, ни пустым множеством. Их мы назовем «истинными подмножествами».

Если мы хотим записать, что множество В является подмножеством множества А (еще говорят – множество В «входит» в множество А), мы используем такое обозначение: А В. То же самое можно обозначить и таким образом: В А

Чтобы не перепутать – куда должна направляться эта скобка, можно воспользоваться мнемоническим правилом: на какое множество показывает более широкая часть символа « », то множество и является более широким.

Знаки , , , называются «знаками включения».

Решим простую задачку. Что следует из того, что А В и В А ? Из первого следует, что все элементы множества В являются также и элементами множества А. Из второго следует, что все элементы множества А являются также и элементами множества В. Ясно, что это возможно только в том случае, если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то есть совпадают. Для обозначения совпадения множеств используют привычный нам знак равенства. Значит запись А=В означает, что оба множества совпадают друг с другом, или тождественны друг другу, равны друг другу – годится любой термин.

Теперь укажем еще несколько важных свойств пустого множества:

1) Введем еще символ « », который обозначает «для любого». Тогда мы можем написать формулу: В ( В). Читается эта формула так: «для любого множества «В» верно, что пустое множество является его подмножеством». Так как в данной формуле буква «В» выбрана совершенно произвольно – просто чтобы как-то обозначить множество, мы можем пропускать это в словесной формулировке и говорить так: «для любого множества верно, что пустое множество является его подмножеством», или, еще короче, «пустое множество является подмножеством любого множества».

2) Множество состоит из элементов, мы это знаем. Но элементами множества могут быть самые разные объекты – числа, жирафы, яблоки, а также… другие множества! Да, разные множества могут быть элементами другого множества. Например, возьмем множество A={2,3,4,5} и множество В={3,4}. Оба эти множества состоят из элементов, которыми являются числа. Теперь создадим множество F, у которого будут два элемента. Первым элементом будет множество А, а вторым – множество В. По-моему, это достаточно просто.

Еще одно правило, касающееся пустого множества, таково: ни одно множество не является элементом пустого множества. Это интуитивно понятно, ведь пустое множество не содержит никаких элементов, значит мы не можем взять «часть от ничего». Это логическое высказывание мы можем записать в таком виде: В (В ).

И так как именно ни одно множество не является подмножеством пустого множества, то и само пустое множество не является своим подмножеством. Это можно записать в виде:

Пока достаточно! А потом мы еще вернемся к теории множеств.