Математизация теоретического знания

Одним из характерных проявлений современной научно-технической революции является широкое использование математических методов в самых различных областях теоретической и практической деятельности. Говоря о применении математики в научном познании, обычно имеют в виду использование таких ее методов, которые позволяют выразить свойства и закономерности исследуемых явлений численным способом. Хотя численные методы по-прежнему играют доминирующую роль в различных отраслях приложений математики, все же ими не исчерпывается вся совокупность средств и методов современной математики. Наиболее характерным проявлением сегодняшней математизации научного знания можно назвать все большее использование таких разделов и методов математики, в которых вопросы измерения величин не играют существенной роли. О математизации той или иной науки в подлинном смысле можно говорить только тогда, когда математика начинает применяться для построения ее теорий, поиска новых закономерностей, создания точного научного языка,

6.5.1. Метрические (численные) аспекты математизации

Большинство математических методов, которые используются в естествознании и опытных науках, условно можно назвать функциональными. В самом деле, взаимосвязь и взаимозависимость различных величин, характеризующих самые разные по своей конкретной природе процессы, может быть выражена с помощью математических функций. Естественно, поэтому, что методы математического анализа таких функций оказываются наиболее эффективными для количественного исследования изучаемых явлений. Современный математический анализ располагает мощными методами изучения разных типов функциональных зависимостей, начиная от классических методов дифференциального и интегрального исчислений и кончая новейшим функциональным анализом.

Хотя отдельные попытки применения специальных математических методов для исследования природы были предприняты уже в античную эпоху, систематическое их использование начинается с эпохи Возрождения, когда возникает экспериментальное естествознание. Опытное исследование природы требовало отказа от прежних умозрительных, спекулятивных методов. Это диктовало необходимость обращения к точным количественным методам изучения явлений. Не случайно Галилей, впервые применивший экспериментальный метод для исследования проблем механики, стал широко привлекать математику

для их количественного анализа. Однако он опирался на довольно несовершенный математический аппарат. Ньютон для построения теоретической механики вынужден был создать дифференциальное и интегральное исчисления, так как математика постоянных величин не годилась для поставленных им целей. «Математические начала натуральной философии» Ньютона содействовали широкому проникновению новых математических методов в естествознание и технические науки. Функциональные модели математики могут быть разделены на два больших класса. К первому из них относятся модели динамического типа, в которых значение функции точно определяется значениями ее аргументов.

Многие теории классической физики используют именно эту модель, опирающуюся на аппарат дифференциальных уравнений.

Второй класс моделей в математике обычно называют моделями статистического типа. В отличие от динамических, здесь некоторые переменные заданы лишь с той или иной степенью вероятности. Наибольшее применение статистические модели находят при анализе массовых случайных явлений или процессов, которые стали объектом изучения многих современных наук, начиная от физики и кончая социологией. В качестве математического аппарата статистики используется теория вероятностей.

Вероятностные методы в настоящее время получили широкое распространение, без них не обходится построение теорий ни в физике, ни в биологии, ни в социологии, ни в экономике.

6.5.2. Неметрические аспекты математизации

Численные (метрические) аспекты математизации как теоретического, так и эмпирического знания являются наиболее знакомыми способами использования математических методов. Не случайно вплоть до конца прошлого века математику нередко определяли как науку об измерении величин. Однако такое определение не охватывает содержания не только современной математики, но и математики прошлого века. В математике давно возник целый ряд новых разделов и дисциплин, в которых вопросы измерения величин не играют существенной роли (проективная геометрия, теория групп, топология, теория множеств и другие). В первое время казалось, что эти новые абстрактные теории имеют лишь внутриматематическую ценность. Со временем выяснилось, что они дают возможность адекватнее выражать закономерности реальных процессов в физике, химии, биологии, экономике и технике. В качестве примера сошлемся на теорию групп, которая первоначально возникла в алгебре в связи с проблемой решения уравнений высших степеней (XVIII в.). Только в конце XIX в. методы этой теории начинают привлекать внимание естествоиспытателей. В 1895г. Е.С. Федоров использовал их для исследования структуры кристаллов, обнаружив в них 230 пространственных групп. Здесь теория групп была применена только для классификации и описания. Более существенную роль ее понятия и методы, в частности теория представлений групп, играют в современной физике — теории относительности и квантовой механике. Другим примером может служить математическая логика. В 30-е годы она рассматривалась как сугубо абстрактная наука, единственной задачей которой служил анализ математических доказательств и рассуждений. После разработки теории алгоритмов и рекурсивных функций математическая логика нашла многочисленные теоретические и практические применения при анализе и синтезе вычислительных машин и кибернетических устройств. Эти примеры, число которых можно было бы увеличить, свидетельствуют о том, что возрастание абстрактности математики не означает отрыва ее от действительности.

Наоборот, с помощью более абстрактных теорий удается полнее и глубже отобразить существенные связи и отношения реального мира. Применение таких теорий в развитых науках современного естествознания: теории относительности, квантовой механике, теории «элементарных» частиц, космологии, квантовой химии, молекулярной биологии и других — диктуется самим уровнем развития этих наук. В современной физике вместо наглядных моделей используются математические модели, которые в абстрактной форме глубже выражают закономерности, существующие в микромире. Назначение таких моделей состоит не в том, чтобы зрительно, наглядно представить процессы: с помощью математических уравнений и формул выражаются зависимости между величинами исследуемого процесса. В этом отношении наиболее характерно изменение роли математики в современной физике.

Если в классической физике модель процесса обычно строилась чисто качественными методами и только после этого к ней применялась математика, то в современной физике чаще всего прибегают к построению математической модели. Одним из важных методов построения новой теории в современной физике выступает метод математической гипотезы, о которой рассказывалось в главе четвертой. Для отображения объектов с трудно представимыми свойствами микрочастиц современная физика все больше и больше прибегает к понятиям и методам новейшей математики. История создания квантовой механики и общей теории относительности свидетельствует о большой эвристической ценности математики в современном естествознании.