Аксиоматический способ построения теории

Аксиоматический метод впервые был успешно применен Евклидом для построения элементарной геометрии. С того времени этот метод претерпел значительную эволюцию, нашел многочисленные приложения не только в математике, но и во многих разделах точного естествознания (механика, оптика, электродинамика, теория относительности, космология и др.).

Развитие и совершенствование аксиоматического метода происходило по двум основным линиям: во-первых, обобщения самого метода и, во-вторых, разработки логической техники, используемой в процессе вывода теорем из аксиом. Чтобы яснее представить характер происшедших изменений, обратимся к первоначальной аксиоматике Евклида. Как известно, исходные понятия и аксиомы геометрии у него интерпретируются одним-единственным образом. Под точкой, прямой и плоскостью как основными понятиями геометрии подразумеваются идеализированные пространственные объекты, а сама геометрия рассматривается как учение о свойствах физического пространства. Постепенно выяснилось, что аксиомы Евклида оказываются верными не только для описания свойств геометрических, но и других математических и даже физических объектов. Так, если под точкой подразумевать тройку действительных чисел, под прямой, плоскостью — соответствующие линейные уравнения, то свойства всех этих негеометрических объектов будут удовлетворять геометрическим аксиомам Евклида. Еще более интересной является интерпретация этих аксиом с помощью физических объектов, например состояний механической и физико-химической системы или многообразия цветовых ощущений. Все это свидетельствует о том, что аксиомы геометрии можно интерпретировать с помощью объектов самой различной природы.

Такой абстрактный подход к аксиоматике в значительной мере был подготовлен открытием неевклидовых геометрий Н. И. Лобачевским, Я. Бойаи, К. Ф. Гауссом и Б. Риманом. Наиболее последовательное выражение новый взгляд на аксиомы как абстрактные формы, допускающие множество различных интерпретаций, нашел в известной работе Д. Гильберта «Основания геометрии» (1899г.). «Мы мыслим, — писал он в этой книге, — три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем А, В, С,...; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем а, b, с,...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем а, В, у,...». Отсюда видно, что под «точкой», «прямой» и «плоскостью» можно подразумевать любые системы объектов. Важно только, чтобы их свойства описывались соответствующими аксиомами. Дальнейший шаг на пути отвлечения от содержания аксиом связан с их символическим представлением в виде формул, а также точным заданием тех правил вывода, которые описывают, как из одних формул (аксиом) получаются другие формулы (теоремы). В результате этого содержательные рассуждения с понятиями на такой стадии исследования превращаются в некоторые операции с формулами по заранее предписанным правилам. Иначе говоря, содержательное мышление отображается здесь в исчислении. Аксиоматические системы подобного рода часто называют формализованными синтаксическими системами, или исчислениями.

Все три рассмотренных типа аксиоматизации находят применение в современной науке. К формализованным аксиоматическим системам прибегают главным образом при исследовании логических оснований той или иной науки. Наибольший размах такие исследования получили в математике в связи с обнаружением парадоксов теории множеств. Значительную роль формальные системы играют при создании специальных научных языков, с помощью которых удается максимальным образом устранить неточности обычного, естественного языка.

Некоторые ученые считают этот момент чуть ли не главным в процессе применения логико-математических методов в конкретных науках. Так, английский ученый И. Вуджер, являющийся одним из пионеров использования аксиоматического метода в биологии, полагает, что применение этого метода в биологии и других отраслях естествознания состоит в создании научно совершенного языка, в котором возможно исчисление. Основой для построения такого языка служит аксиоматический метод, выраженный в виде формализованной системы, или исчисления. В качестве алфавита формализованного языка служат исходные символы двух типов: логические и индивидуальные.

Логические символы отображают логические связи и отношения, общие для многих или большинства теорий. Индивидуальные символы обозначают объекты исследуемой теории, например математической, физической или биологической. Подобно тому как определенная последовательность букв алфавита образует слово, так и конечная совокупность упорядоченных символов образует формулы и выражения формализованного языка. Для отличия осмысленных выражений языка вводят понятие правильно построенной формулы. Чтобы закончить процесс построения искусственного языка, достаточно четко описать правила вывода или преобразования одних формул в другие и выделить некоторые правильно построенные формулы в качестве аксиом. Таким образом, построение формализованного языка происходит так же, как и построение содержательной аксиоматической системы. Поскольку содержательные рассуждения с формулами в первом случае недопустимы, то логический вывод следствий сводится здесь к выполнению точно предписанных операций обращения с символами и их комбинациями.

Главная цель использования формализованных языков в науке — критический анализ рассуждений, с помощью которых получается новое знание в науке. Поскольку в формализованных языках отображаются некоторые аспекты содержательных рассуждений, то они могут быть использованы также для оценки возможностей автоматизации интеллектуальной деятельности.

Абстрактные аксиоматические системы получили наибольшее применение в современной математике, для которой характерен чрезвычайно общий подход к предмету исследования. Вместо того чтобы говорить о конкретных числах, функциях, линиях, поверхностях, векторах и тому подобных объектах, современный математик рассматривает различные множества абстрактных объектов, свойства которых точно формулируются с помощью аксиом. Такие совокупности, или множества, вместе с описывающими их аксиомами теперь часто называют абстрактными математическими структурами.

Какие преимущества аксиоматический метод даст математике? Во-первых, он значительно расширяет границы применения математических методов и зачастую облегчает процесс исследования. При изучении конкретных явлений и процессов в той или иной области ученый может воспользоваться абстрактными аксиоматическими системами как готовыми орудиями анализа. Убедившись в том, что рассматриваемые явления удовлетворяют аксиомам некоторой математической теории, исследователь может без дополнительной трудоемкой работы сразу же воспользоваться всеми теоремами, которые следуют из аксиом. Аксиоматический подход избавляет специалиста конкретной науки от выполнения довольно сложного и трудного для него математического исследования.

Для математика этот метод дает возможность глубже понять объект исследований, выделить в нем главные направления, понять единство и связь разных методов и теорий. Единство, которое достигается с помощью аксиоматического метода, по образному выражению Н. Бурбаки, не есть единство, «которое дает скелет, лишенный жизни. Это питательный сок организма в полном развитии, податливый и плодотворный инструмент исследования...». Благодаря аксиоматическому методу, особенно в его формализованном виде, становится возможным полностью раскрыть логическую структуру различных теорий. В наиболее совершенном виде это относится к математическим теориям. В естественнонаучном знании приходится ограничиваться аксиоматизацией основного ядра теорий. Далее, применение аксиоматического метода дает возможность лучше контролировать ход наших рассуждений, добиваясь необходимой логической строгости. Однако главная ценность аксиоматизации, особенно в математике, состоит в том, что она выступает как метод исследования новых закономерностей, установления связей между понятиями и теориями, которые раньше казались обособленными друг от друга.

Ограниченное применение аксиоматического метода в естествознании объясняется прежде всего тем, что его теории постоянно должны контролироваться опытом.

В силу этого естественнонаучная теория никогда не стремится к полной законченности и замкнутости. Между тем в математике предпочитают иметь дело с системами аксиом, которые удовлетворяют требованию полноты. Но как показал К. Гёдель, всякая непротиворечивая система аксиом нетривиального характера не может быть полной.

Требование непротиворечивости системы аксиом гораздо существеннее требования их полноты. Если система аксиом будет противоречивой, она не будет представлять никакой ценности для познания. Ограничиваясь неполными системами, можно аксиоматизировать лишь основное содержание естественнонаучных теорий, оставляя возможность для дальнейшего развития и уточнения теории экспериментом. Даже такая ограниченная цель в ряде случаев оказывается весьма полезной, например для обнаружения некоторых неявных предпосылок и допущений теории, контроля полученных результатов, их систематизации и т.п.

Наиболее перспективным применение аксиоматического метода оказывается в тех науках, где используемые понятия обладают значительной стабильностью и где можно абстрагироваться от их изменения и развития.

Именно в этих условиях становится возможным выявить формально-логические связи между различными компонентами теории. Таким образом, аксиоматический метод в большей мере, чем гипотетико-дедуктивный, приспособлен для исследования готового, достигнутого знания.

Анализ возникновения знания, процесса его формирования требует обращения к материалистической диалектике, как наиболее глубокому и всестороннему учению о развитии.