КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Уравнение гармонического колебательного движения.Пусть на некоторое тело массы “m” действует квазиупругая сила , под действием которой тело приобретает ускорение “a”, тогда по II-закону Ньютона и, следовательно (пример, колебание шарика, подвешенного к пружинке). Здесь движение (колебательный процесс) происходит вдоль оси “x”. Далее ; и ; тогда или . Колебательный процесс возможен, если коэффициент при “x” положителен, представим его в виде (здесь w0 – вещественная величина). Тогда получим:
Таким образом, движение шарика на пружинке под действием силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка. Решением такого уравнения является функция вида: , (8.1) где А – амплитуда колебаний, величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия. Определяется величиной первоначального отклонения (А = const > 0). (w0t+j) – фаза колебаний. Физический смысл фазы состоит в том, что она определяет смещение колеблющейся точки в любой момент времени. Постоянная j представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания. Из уравнения следует, что фазам, отличающимся на величину, кратную 2p, соответствуют одинаковые смещения. Так как смещение системы при колебательном движении представляет периодическую функцию от времени, то и скорость и ускорение такой системы будут также в точности повторяться через равные промежутки времени T, за который фаза колебаний получит приращение, кратное 2p. Этот промежуток времени T называется периодом колебаний (или иначе T – это время, за которое совершается полный цикл колебаний). (8.2) С учетом получим . (8.3) Из формулы видно, что период колебаний зависит только от свойств самой системы. Для описания колебательного периодического движения вводится еще несколько величин: а) n – частота колебаний – это величина численно равная числу колебаний в единицу времени. . За единицу частоту (1Гц) принимают частоту такого колебания, период которого равен 1с. б) w0 = 2pn – круговая или циклическая частота (w0 – число колебаний за 2p секунд). Для колебательного процесса смещение, скорость и ускорение можно представить как аналитически: 1. . 2. . 3. .
|