Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).

6.У процесі практичної діяльності людина помітила, що за допомогою натуральних чисел можна встановлювати не лише кількість і порядок предметів розглядуваної множини, а й визначати чисельність множини, яку отримують в результаті виконання певних операцій над множинами. В теорії множин відомі такі операції над множинами: об'єднання, перетин, віднімання (вилучення частини множини), декартовий добуток. Названі операції мають чітко визначені властивості, а тому можна припустити: 1) операції над числами можна визначити, використавши операції над множинами; 2) операції над числами можуть мати властивості, аналогічні до властивостей операцій над множинами. Розглянемо сутність операцій додавання, віднімання, множення та ділення натуральних чисел.

Першою операцією над множинами, яку ми розглядали, була операція об'єднання множин. Нехай задано дві скінченні множини А і В, такі, що n(А)=а, n(В)=b. Крім того множини А і В не мають спільних елементів (А∩В=Æ). Утворимо множину АÈВ і знайдемо число її елементів, тобто n(АÈВ). Оскільки множини А і В не мають спільних елементів, то n(АÈВ)=n(А)+n(В). Таким чином, можна прийняти таке означення: “Сумою натуральних чисел а і b, які є кількісною характеристикою скінченних множин А і В, називається число елементів об'єднання цих множин, якщо вони не мають спільних елементів”. Числа а і b називаються доданками, число а+b – сумою, а операція, за допомогою якої знаходиться сума чисел, - операцією додавання.

Прийняте означення можна поширити на будь-яку скінченну кількість доданків. Окрім того, у прийнятому означенні нічого не говориться про існування та єдиність операції додавання і про властивості, які вона має. Тому, необхідно довести наступні теореми:

Теорема 1: сума двох довільних натуральних чисел існує і єдина.

Доведення:

Розглянемо дві скінченні множини А і В такі, що n(А)=а, n(В)=b і АÇВ=Æ. Оскільки операція об'єднання множин завжди існує та єдина, не враховуючи порядку розміщення елементів, то завжди існуватиме і буде єдиним число а+b=n(АÈВ). Теорему доведено.

Теорема 2: операція додавання на множині натуральних чисел задовольняє комутативний (переставний) закон.

Доведення теореми 2 пропонуємо провести самостійно, використавши доведення теореми 3.

Теорема 3: операція додавання на множині натуральних чисел задовольняє асоціативний (сполучний) закон.

Доведення:

Розглянемо скінченні множини А, В і С такі, що n(А)=а, n(В)=b, n(С)=с, АÇВ=Æ, АÇС=Æ, ВÇС=Æ. Утворимо множину АÈВÈС, для якої справедливий асоціативний закон, тобто: (АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС). Звідси випливає: n((АÈВ)ÈС)=n(АÈ(ВÈС)). Таким чином: n(АÈВ)+n(С)=n(А)+n(ВÈС). Далі: (n(А)+n(В))+n(С)=n(А)+(n(В)+n(С)). Отже, маємо: (а+b)+с=а+(b+с). Теорему доведено.