Поняття натурального числа і нуля у теоретико-множинній (кількісній) теорії.

3. На певному етапі свого розвитку людина не відокремлювала число від матеріальної основи, якою була кількість чітко визначених елементів певної природи розглядуваної множини. Поступово, завдяки практичній діяльності людей, число набуло своєї самостійної сутності, яка виражає спільну властивість класу рівночисельних скінченних множин. Лише набагато пізніше цю властивість було поширено завдяки потребам математики і на нескінченні множини. Таким чином, люди навчилися лічити предмети, позначати результати лічби символічно за допомогою чисел, використовуючи невелику кількість спеціальних знаків – цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Результатом розвитку людства та математики стало створення зручної, стандартної, впорядкованої числової множини – множини натуральних чисел. Числовий запас цієї множини поступово розширювався та призвів до виникнення уявлення нескінченності цієї числової множини. Отже, натуральне число стало кількісною характеристикою певного класу скінченних еквівалентних множин. Таке натуральне число прийнято називати кількісним або кардинальним. Наприклад, натуральне число 2 є кількісною характеристикою всіх двоелементних множин незалежно від природи елементів, що входять до неї.

Побудову кількісної теорії цілих невід’ємних чисел пов’язують з ім’ям видатного німецького математика Г.Кантора. В основу теорії кладуться поняття скінченної множини та взаємно однозначної відповідності між елементами двох множин. Як відомо, дві множини називаються рівночисельними або еквівалентними, якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність. Відношення рівночисельності має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності, а тому воно є відношенням типу еквівалентності та визначає на множині всіх множин розбиття на класи еквівалентності. Спільною властивістю всіх множин одного і того ж класу буде їхня рівночисельність, тобто однакова кількість елементів у кожній множині класу незалежно від їх природи.

Таким чином, до першого класу увійдуть всі одноелементні множини, до другого – двоелементні множини, до третього – трьохелементні тощо. Для характеристики спільної властивості множин першого класу виберемо число 1, другого класу – число 2, третього класу – число 3 тощо. Як відомо із теорії множин, приймається наступне означення: “Число n(А), визначене множиною А, називають потужністю множини А”. У математиці розглядаються множини, які називають порожніми, позначаючи їх Æ. Спільною властивістю класу таких множин є те, що вони не містять жодного елемента. Для характеристики чисельності таких множин будемо використовувати число 0. Отже, n(Æ)=0.

Символи, що використовуються для запису чисел, прийнято називати цифрами. У десятковій позиційній системі числення для запису всіх натуральних чисел використовується десять символів-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для називання всіх чисел, які вивчаються в курсі математики І-ІУ класів використовується всього 16 нових слів: нуль, один, два, три, чотири, п’ять, шість, сім, вісім, дев’ять, десять, сорок, сто, тисяча, мільйон, мільярд.

Отже, можна прийняти таке означення: “Кількісним натуральним числом n називається спільна властивість класу скінченних еквівалентних (рівночисельних) множин”. Множину натуральних чисел прийнято позначати так: N={1; 2; 3; 4; ... n; ...}. Якщо до множини натуральних чисел приєднати число 0 (нуль), то одержимо множину цілих невід’ємних чисел, яку позначають N₀ або Z₀={0; 1; 2; 3; 4; ... n; ...}.

4. Визначення відношень “більше (>)”, “менше (<)”, “дорівнює (=)” на множині цілих невід’ємних чисел. Порівняння натуральних чисел за величиною.

4. У попередньому пункті ми ввели поняття кількісного натурального числа. Для побудови теоретико-множинної або кількісної теорії цілих невід’ємних чисел нам необхідно ввести правила порівняння таких чисел та визначити арифметичні операції над ними. Розглянемо дві скінченні множини А і В, чисельність (потужність) яких характеризується натуральними числами n(А)=а і n(В)=b. Якщо множини А і В належать одному класу скінченних еквівалентних множин, тобто вони еквівалентні (А~В), то n(А)=n(В), тобто а=b. Враховуючи наведені міркування можна прийняти наступне означення: “Два натуральних числа а=n(А) і b=n(В) називаються рівними, якщо А~В”. Символічно дане означення можна записати так: (а=b)↔(А~В), де а=n(А), b=n(В). Введене нами означення рівності натуральних чисел задає на цій множині відношення “дорівнює”, яке має такі властивості: 1) рефлексивності: кожне число дорівнює саме собі, тобто а=а, бо А~А; 2) симетричності: якщо а=b, то b=а, бо із А~В випливає В~А; 3) транзитивності: (а=bÙb=с)→(а=с), бо із (А~ВÙВ~С)→(А~С). Таким чином, відношення “дорівнює” є відношенням типу еквівалентності.

Нехай А і В – дві скінченні множини, такі, що а=n(А) і b=n(В), аВ₁ – власна підмножина множини В, тобто В₁ÌВ. Тоді можна прийняти таке означення: “Якщо множина А еквівалентна власній підмножині В₁ множини В, то говорять, що число а=n(А) менше від числа b=n(В), тобто а<b”. Символічно це означення можна записати так: (а<b)↔(А~В₁ÙВ₁ÌВÙВ₁¹ВÙВ₁¹Æ). Аналогічно можна визначити відношення “більше” (пропонуємо зробити це самостійно!). Запропоноване означення „менше” для натуральних чисел задає на цій множині відношення “менше”, яке має наступні властивості: 1) антирефлексивності: неправильно, що а<а, бо неправильно, що АÌА; 2) асиметричності: неправильно, що із а<b®b<а, бо якщо АÌВ, то неправильно, що ВÌА; 3) транзитивності: (а<bÙb<с)®(а<с), бо із (АÌВÙВÌС)®(АÌС). Таким чином, відношення “менше” є відношенням строгого порядку на множині натуральних чисел. Отже, множина натуральних чисел щодо відношення “менше” є впорядкованою множиною. Введене означення відношень «дорівнює», «менше» та «більше» дає можливість порівнювати натуральні числа за величиною. Порівнювати їх можна за місцем, яке вони займають при лічбі: число, яке зустрічається при лічбі пізніше, буде більшим. Якщо числа зобразити точками числової прямої, то більшим буде те число, яке зображається правіше на числовій прямій (див. малюнок № 1).