Малюнок № 5.2.

За умовою АВ=1, ВС=1. Припустимо, що довжина діагоналі АС дорівнює нескоротному дробу , тобто раціональному числу. За теоремою Піфагора із трикутника АВС маємо: АС²=АВ²+ВС² . Тоді ( )²=2. Отже, p²=2q². Права частина останньої рівності ділиться націло на 2, а тому і ліва частина p² 2. Це означає, що число p – парне, тобто p=2p₁. Таким чином, 4p₁²=2q². Звідси, 2p₁²=q², тобто число q – парне і q=2q₁. Отже, тобто дріб - скоротний, а це суперечить умові. Ця суперечність говорить про те, що наше припущення про раціональність числа було хибним. Таким чином, якщо довжини сторін квадрата виражаються раціональними числами, то довжина його діагоналі не виражається раціональним числом. Отже, діагональ квадрата несумірна з його стороною. Теорему доведено.

Із доведеної теореми випливає, що, по-перше, існують відрізки, довжина яких не виражається раціональним числом, по-друге, не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2, тобто рівняння х²=2 в множині раціональних чисел немає розв'язку. Отже виникає потреба в розширенні множини раціональних чисел, причому повинні виконуватися наступні вимоги: 1) довжина будь-якого відрізка повинна виражатися цим числом; 2) у новій числовій множині завжди повинно мати розв'язок рівняння виду хⁿ=а, де а 0; 3) множина раціональних чисел повинна входити в нову числову множину.