Рівняння з двома змінними. Рівняння лінії. Рівняння прямої та їх види.

3. Розглянемо двомісні предикати: , , . У загальному випадку їх позначають так f(х;у)=g(х;у). Такі предикати називають рівнянням з двома змінними. Наприклад, предикати , будуть рівняннями з двома змінними. Приймемо означення основних понять, що стосуються рівнянь з двома змінними.

Означення: предикат виду f(х;у)=g(х;у), де (х;у)єХ² називається рівнянням з двома змінними, заданим на множині Х.

Означення: коренем або розв’язком рівняння з двома змінними називається будь-яка пара чисел (х₀;у₀)єХ², при підстановці якої у рівняння одержуємо істинну числову рівність.

Означення: множиною розв’язків рівняння з двома змінними називається множина всіх таких пар (х₀;у₀)єХ², при підстановці кожної з яких у рівняння воно перетворюється в істинну числову рівність.

Означення: множиною допустимих значень змінних рівняння з двома змінними називається множина, із якої набирають значень змінні х і у.

Як відомо, кожній парі чисел на площині відповідає точка площини. Якщо зобразити всі корені рівняння з двома змінними точками координатної площини, то ми одержимо на площині деяку її підмножину точок. Цю множину називають графіком рівняння. Рівняння з двома змінними, як правило, має безліч розв’язків, а тому зобразити їх послідовно одна за одною практично неможливо. Саме тому і графік рівняння з двома змінними містить безліч точок і для його зображення користуються геометричним способом опису. Із шкільного курсу математики відомо, що графіком рівняння у-х=5 є пряма, а графіком рівняння у=х² – парабола.

Означення: два рівняння з двома змінними f₁(х;у)=g₁(х;у) і f₂(х;у)=g₂(х;у) називаються рівносильними, якщо вони задані на одній і тій самій множині та множини їх розв’язків співпадають.

Легко довести такі теореми про рівносильність рівнянь з двома змінними.

Теорема 1: якщо вираз , визначений для всіх значень і з області визначення рівняння, то рівняння і f(x;y)+φ(x;y)=g(x;y)+φ(x;y) рівносильні.

Теорема 2: якщо вираз визначений при всіх значеннях і з області визначення рівняння та при цих же значеннях не перетворюється в нуль, то рівняння і рівносильні.

Доведення цих теорем аналогічно до доведення теорем для рівнянь з однією змінною, а тому пропонуємо студентам виконати завдання для самостійної роботи.

Як ми вже зазначали, геометричною фігурою називається всяка непорожня множина точок. Звідси випливає, що фігуру можна задати двома способами: а) координатами точок, з яких вона складається; б) аналітично, тобто за допомогою рівняння. Перший спосіб не завжди зручний, бо фігура як правило містить нескінченну множину точок. При другому способі в координатах записують умову, яка виражає характерну властивість всіх точок даної множини і тільки їх. За знайденими умовами визначають, чи належить певна точка площини даній множині, чи ні. Якщо точки даної множини характеризуються кількома аналітичними умовами, то складають кілька аналітичних умов, за сукупністю яких і визначають належність точки даній множині.

Означення: рівнянням множини точок називають такі аналітичні умови, яким задовольняють координати всіх точок даної множини і не задовольняють координати точок, що не належать цій множині.

Серед геометричних фігур важливе місце займають лінії. Лінії, всі точки яких належать площині, називаються плоскими. Найпростішими лініями відомими вам із курсу геометрії школи є пряма, парабола, гіпербола, синусоїда, косинусоїда, коло тощо. Крім цих ліній відомо багато найрізноманітніших ліній. Властивість, яка характеризує лінію, можна розглядати як одномісний предикат Р(х) на множині точок М площини. Тоді сама лінія L буде областю істинності цього предикату. Точка в прямокутній системі координат задається парою дійсних чисел (х;у). Ми вже вказували, що лінія містить безліч точок. Для того, щоб застосувати метод координат до вивчення властивостей ліній потрібно кожну лінію схарактеризувати деяким рівнянням, яке б пов’язувало дві координати х і у довільної (або біжучої) точки лінії. В загальному вигляді таке рівняння можна записати так: F(х;у)=0.

Означення: рівнянням лінії L називається таке рівняння виду F(x;y)=0 що виконуються наступні вимоги: 1) координати (х₁;у₁) будь-якої точки М, яка належить лінії L, задовольняє це рівняння; 2) будь-які два числа х₁ і у₁, які задовольняють рівняння виду F(x;y)=0 визначають точку, яка належить лінії L.

Таким чином, рівняння виду F(x;y)=0 є рівнянням лінії L, якщо виконується еквіваленція(М(х;у)єL)↔(F(x;y)=0). Якщо рівняння лінії можна розв’язати відносно змінної у, то рівняння лінії буде мати вигляд у=f (х). Отже, лінія повністю характеризується своїм рівнянням. На основі вище викладеного можна зробити висновок про те, що лінія повністю визначається двома способами: 1) геометричною властивістю; 2) рівнянням. Залежно від способів задання лінії в аналітичній геометрії виникають задачі двох видів: а) лінія задана геометрично, а потрібно знайти її рівняння; б) лінія задана своїм рівнянням, а потрібно знайти і вивчити її властивості. Практично доводиться розв’язувати обидві задачі: спочатку за деякою властивістю лінії знаходять її рівняння, а потім за допомогою цього рівняння вивчають властивості цієї лінії.

Як відомо, колом називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від однієї точки цієї площини, яка називається центром кола. Розглянемо задачу: скласти рівняння кола з центром в точці С(a,b) і радіусом R. Користуючись геометричною властивістю усіх точок кола, складемо його рівняння. Нехай М (х;у) – довільна біжуча точка кола (див. малюнок № 6.1.).

Вона має властивість . Пригадаємо, за якою формулою визначається відстань між двома точками площини? - . Тоді . Отже, . Звільнившись від кореня, маємо: . Рівняння такого вигляду називається зведеним або нормальним рівнянням кола з центром в точці С і радіусом R. За цим рівнянням можна безпосередньо назвати координати центра і радіус кола. Розкривши дужки в цьому рівнянні, дістанемо таке рівняння: х²-2ах+а²+у²-2bу+b²=R². Позначивши -2ах через А, -2bу через В, а²+b²-R² через С, матимемо рівняння х²+у²+Ах+Ву+С=0, яке називають загальним рівнянням кола. Щоб знайти в такому рівнянні координати і радіус, потрібно виділити в ньому повні квадрати і записати його у вигляді зведеного рівняння кола. Окремим випадком зведеного рівняння кола є таке: . Чому дорівнює в цьому рівнянні а та b? – а=0, b=0. Як проходить таке коло? – центр цього кола знаходиться в початку координат.

У

Х