Метод упрощения вычисления средней арифметической называется методом условных моментов или методом отчета от условного нуля.

Согласно этому методу средняя рассчитывается по следующей формуле.

x₀ – значение условного нуля

h – ширина интервала

m₁– условный момент первого порядка

Расчет средней арифметической способом условных моментов применяется для расчета средних в интервальных вариационных рядах.

13. Показатели вариации.При изучении варьирующего признака у единиц совокупности нельзя ограничиваться лишь расчетом средней величины из отдельных вариантов, так как одна и та же средняя может относиться далеко не к одинаковым по составу совокупностям.

Вариацией признака называется различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Термин «вариация» произошел от латинского variatio – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Чем больше вариация, тем дальше в среднем отдельные значения лежат друг от друга.

Различают вариацию признака в абсолютных и относительных величинах.

К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Все абсолютные показатели имеют ту же размерность, что и изучаемые величины.

К относительным показателям относятся коэффициенты осцилляции, линейного отклонения и вариации.

Показатели абсолютные. Рассчитаем абсолютные показатели, характеризующие вариацию признака.

Размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака.

Показатель размаха вариации не всегда применим, так как он учитывает только крайние значения признака, которые могут сильно отличаться от всех других единиц.

Более точно можно определить вариацию в ряду при помощи показателей, учитывающих отклонения всех вариантов от средней арифметической.

Таких показателей в статистике два: среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение (L) представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от средней.

– для несгруппированных данных;	(6.2)
– для сгруппированных данных.	(6.3)

Практическое использование среднего линейного отклонения заключается в следующем, с помощью этого показателя анализируется состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов.

Недостаток этого показателя заключается в том, что он усложняет расчеты вероятного типа, затрудняет применение методов математической статистики.

Среднее квадратическое отклонение ( ) является наиболее распространенным и общепринятым показателем вариации. Оно несколько больше среднего линейного отклонения. Для умеренно асимметричных распределений установлено следующее соотношение между ними

=1,25L

(6.4)

Для его исчисления каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадраты суммируются (с учетом весом), после чего сумма квадратов делится на число членов ряда и из частного извлекается корень квадратный.

Все эти действия выражает следующая формула

Ads by SensePlusAd Options

Ads by HQ-Video-Pro-2.1cAd Options

– для несгруппированных данных,	(6.5)
– для сгруппированных данных.	(6.6)

т.е. среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из средней арифметической квадратов отклонений от средней.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше σ, тем лучше среднее арифметическое отражает собой всю представляемую совокупность.

Средняя арифметическая из квадратов отклонений вариантов значений признака от средней величины носит название дисперсии ( ), которая рассчитывается по формулам

– для несгруппированных,	(6.7)
– для сгруппированных.	(6.8)

Отличительной особенностью данного показатели является то, что при возведении в квадрат ( ) удельный вес малых отклонений уменьшается, а больших увеличивается в общей сумме отклонений.

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить её вычисление:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

Если , то и .

Тогда .

2. Если все варианты значений признака (x) уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится.

Пусть , но тогда в соответствии со свойствами средней арифметической и .

Дисперсия в новом ряду будет равна

, т.е. дисперсия в ряду равна дисперсии первоначального ряда .

3. Если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится в k2 раз.

Пусть , тогда и .

Дисперсия же нового ряда будет равна

4. Дисперсия, рассчитанная по отношению к средней арифметической, является минимальной. Средний квадрат отклонений, рассчитанный относительно произвольного числа , больше дисперсии, рассчитанной по отношению к средней арифметической, на квадрат разности между средней арифметической и числом , т.е. . Дисперсия от средней имеет свойство минимальности, т.е. она всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин. В этом случае, когда приравниваем к 0 и , следовательно, не вычисляем отклонения, формула принимает такой вид:

(6.9)

Выше был рассмотрен расчет показателей вариации для количественных признаков, но в экономических расчетах может ставиться задача оценки вариации качественных признаков. Например, при изучении качества изготовленной продукции, продукцию можно разделить на качественную и бракованную.

В таком случае речь идет об альтернативных признаках.

Альтернативными признаками называются такие, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие нет. Например, наличие производственного стажа у абитуриентов, ученая степень у преподавателей ВУЗов и т.д. Наличие признака у единиц совокупности условно обозначаем через 1, а отсутствие – 0. Тогда, если долю единиц, обладающих признаком (в общей численности единиц совокупности), обозначить через р, а долю единиц, не обладающих признаком, через q, дисперсию альтернативного признака можно рассчитать по общему правилу. При этом p + q = 1 и, значит, q = 1– p.

Сначала рассчитываем среднее значение альтернативного признака:

Рассчитаем среднее значение альтернативного признака

,

т.е. среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих данным признаком.

Дисперсия же альтернативного признака будет равна:

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равняется произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

А среднее квадратическое отклонение будет равно = .

Показатели относительные. Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, выраженные в относительных величинах. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане.

Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Различают следующие относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

.

(6.10)

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отношений от средней величины.

.

(6.11)

3. Коэффициент вариации оценивает типичность средних величин.

.

(6.12)

Чем меньше , тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя. Если ≤33%, то распределение близко к нормальному, а совокупность считается однородной. Из приведенного примера вторая совокупность однородна.

14. Изменение социально-экономических явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов.

Ряды динамики - это значения статистических показателей, которые представлены в определенной хронологической последовательности.

Каждый динамический ряд содержит две составляющие:

1) показатели периодов времени (годы, кварталы, месяцы, дни или даты);

2) показатели, характеризующие исследуемый объект за временные периоды или на соответствующие даты, которые называют уровнями ряда.

По времени различают моментные и интервальные ряды динамики.

В моментных рядах уровни выражают состояние явления на критический момент времени – начало месяца, квартала, года и т.д. Например, численность населения, численность работающих и т.д. В такихрядах каждый последующий уровень полностью или частично содержит значение предыдущего уровня, поэтому суммировать уровни нельзя, так как это приводит к повторному счету.

В интервальных – уровни отражают состояние явления за определенный период времени – сутки, месяц, год и т.д. Это ряды показателей объема производства, объема продаж по месяцам года, количества отработанных человеко-дней и т.д.

По форме представления уровней различают ряды абсолютных, относительных и средних величин.

Абсолютное изменение уровней - в данном случае его можно назвать абсолютным приростом - это разность между сравниваемым уровнем и уровнем более раннего периода, принятым за базу сравнения. Если эта база непосредственно предыдущий уровень, показатель называют цепным, если за базу взят, например, начальный уровень, показатель называют базисным. Формулы абсолютного изменения уровня:

Если абсолютное изменение отрицательно, его следует называть абсолютным сокращением.

Ускорение - это разность между абсолютным изменением за данный период и абсолютным изменением за предыдущий период одинаковой длительности:

Показатель абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте, но не в базисном. Отрицательная величина ускорения говорит о замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда.

Коэффициент роста Ki определяется как отношение данного уровня к предыдущему или базисному, показывает относительную скорость изменения ряда. Если коэффициент роста выражается в процентах, то его называют темпом роста.

Коэффициент роста

базисный -

цепной -

или же темпом прироста.

Значения цепных темпов прироста, рассчитанных каждый к своей базе, различаются не только числом процентов, но и величиной абсолютного изменения, составляющей каждый процент. Поэтому складывать или вычитать цепные темпы прироста нельзя. Абсолютное значение 1% прироста равно сотой части предыдущего уровня, или базисного уровня.

В общем виде темп роста одной из альтернативных долей зависит от темпа роста другой доли и величины этой доли следующим образом:

Абсолютное изменение долей в пунктах зависит от величины доли и темпа роста таким образом:

При наличии в совокупности не двух, а более групп абсолютное изменение каждой из долей в пунктах зависит от доли этой группы в базисный период и от соотношения темпа роста абсолютной величины объемного признака этой группы со средним темпом роста объемного признака во всей совокупности. Доля f-й группы в сравниваемый (текущий) период определяется как

Средние показатели динамики - средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средние темпы роста - характеризуют тенденцию.

Средний уровень интервального ряда динамики определяется как простая арифметическая средняя из уровней за равные промежутки времени:

или как взвешенная арифметическая средняя из уровней за неравные промежутки времени, длительность которых и является весами.

Особая форма средней арифметической величины, называемой хронологической средней:

Если известны точные даты изменения уровней моментного ряда то средний уровень определяется как

где ti - время, в течение которого сохранялся уровень.

Средний абсолютный прирост (абсолютное изменение) определяется как простая арифметическая средняя из абсолютных изменений за равные промежутки времени (цепных абсолютных изменений) или как частное от деления базисного абсолютного изменения на число осредняемых отрезков времени от базисного до сравниваемого периода:

Средний темп изменения определяется наиболее точно при аналитическом выравнивании динамического ряда по экспоненте. Если можно пренебречь колеблемостью, то средний темп определяют какгеометрическую среднюю из цепных темпов роста за п лет или из общего (базисного) темпа роста за п лет:

Средний коэффициент роста ( ) рассчитывается по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды:

где Кр1 , Кр2 , ..., Кр n-1 - коэффициенты роста по сравнению с предыдущим периодом; n - число уровней ряда.

Средний коэффициент роста можно определить иначе:

15.

При изучении динамики используются различные показатели и методы анализа, как элементарные, более простые, так и более сложные, требующие соответственно применения более сложных разделов математики. Простейшими показателями анализа, которые используются при решении ряда задач, в первую очередь при измерении скорости изменения уровня ряда динамики, являются абсолютный прирост, темпы роста и прироста, а также абсолютное значение (содержание) одного процента прироста. Расчет этих показателей основан на сравнении между собой уровней ряда динамики. При этом уровень, с которым производится сравнение, называется базисным, так как он является базой сравнения. Обычно за базу сравнения принимается либо предыдущий, либо какой-либо предшествующий уровень, например первый уровень ряда. Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными,так как они представляют собой как бы звенья «цепи», связывающей между собой уровни ряда. Если же все уровни связываются с одним и тем же уровнем, выступающим как постоянная база сравнения, то полученные при этом показатели называются базисными. Часто построение ряда динамики начинают с того уровня, который будет использован в качестве постоянной базы сравнения. Выбор этой базы должен быть обоснован историческими и социально-экономическими особенностями развития изучаемого явления. В качестве базисного целесообразно брать какой-либо характерный, типичный уровень, например конечный уровень предыдущего этапа развития (или средний его уровень, если на предыдущем этапе уровень то повышался, то понижался). Абсолютныш прирост показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, т. е. за тот или иной промежуток (период) времени. Абсолютный прирост равен разности между сравниваемыми уровнями и измеряется в тех же единицах, что и эти уровни: ? =yi?yi?1; ? =yi ?y0 , где уi – уровень i-го года; yi-1 – уровень предшествующего года; y0 – уровень базисного года. Если уровень уменьшился по сравнению с базисным, то ? ‹ 0; он характеризует абсолютное уменьшение уровня. Абсолютный прирост за единицу времени (месяц, год) измеряет абсолютную скорость роста (или снижения) уровня. Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных приростов равна соответствующему базисному приросту, т. е. общему приросту за весь период. Более полную характеристику роста можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются относительными. Относительными показателями динамики являются темпы роста и темпы прироста, характеризующие интенсивность процесса роста. Темп роста (Тр) – статистический показатель, который отражает интенсивность изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным, а в случае уменьшения – какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень; измеряется отношением текущего уровня к предыдущему или базисному: Как и другие относительные величины, темп роста может быть выражен не только в форме коэффициента (простого отношения уровней), но и в процентах. Как и абсолютные приросты, темпы роста для любых рядов динамики сами по себе являются интервальными показателями, т. е. характеризуют тот или иной промежуток (интервал) времени. Между цепными и базисными темпами роста, выраженными в форме коэффициентов, существует определенная взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста за весь соответствующий период, например: y2/ y1 y3/ y2 = y3/ y1. Темп прироста (Тпр) характеризует относительную величину прироста, т. е. представляет собой отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню: Темп прироста, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, принятым за 100 %. При анализе темпов развития никогда не следует упускать из виду, какие абсолютные величины – уровни и абсолютные приросты – скрываются за темпами роста и прироста. Нужно, в частности, иметь в виду, что при снижении (замедлении) темпов роста и прироста абсолютный прирост может возрастать. В связи с этим важно изучать еще один показатель динамики – абсолютное значение (содержание) 1 % прироста, который определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста: Эта величина показывает, сколько в абсолютном выражении дает каждый процент прироста. Иногда уровни явления за одни годы несопоставимы с уровнями за другие годы из-за территориальных, ведомственных и иных изменений (изменения методологии учета и исчисления показателей и т. п.). Чтобы обеспечить сопоставимость и получить пригодный для анализа временной ряд, нужно произвести прямой пересчет уровней, несопоставимых с другими. Однако иногда нет необходимых для этого данных. В таких случаях можно использовать особый прием, называемый смыканием рядов динамики. Пусть, например, произошло изменение границ территории, по которой изучалась динамика развития какого-то явления в i-м году. Тогда данные, полученные до этого года, окажутся несопоставимы с данными за последующие годы. Чтобы сомкнуть эти ряды и получить возможность анализа динамики ряда за весь период, примем в каждом из них за базу сравнения уровень i-го года, за который есть данные как в прежних, так и в новых границах территории. Эти два ряда с одинаковой базой сравнения можно затем заменить одним сомкнутым рядом динамики. По данным сомкнутого ряда можно вычислить темпы роста по сравнению с любым годом, можно рассчитать и абсолютные уровни за весь период в новых границах. Тем не менее надо иметь в виду, что результаты, полученные путем смыкания рядов динамики, содержат в себе некоторую погрешность. Графически динамика явлений наиболее часто изображается в виде столбиковых и линейных диаграмм. Применяются и другие формы диаграмм: фигурные, квадратные, секторные и т. п. Аналитические графики обычно строятся в виде линейных диаграмм.

16. Экономические и хозяйственные процессы в предприятии находятся в непрерывном развитии. Их изменение во времени можно изучить при помощи построения и анализа рядов динамики.

Ряд динамики – числовые значения показателя, представленные во временной последовательности. Он состоит из двух граф: в первой указываются периоды (или даты), во второй – показатели, характеризующие изучаемый объект за эти периоды (или на эти даты).

В связи с этим ряды динамики могут быть двух видов: интервальные (данные о годовом надое молока за ряд лет) и моментные (данные о стоимости основных средств предприятия на начало года).

Для изучения интенсивности изменения уровней ряда во времени исчисляются следующие показатели динамики.

Представленные показатели динамики можно исчислять с переменной или постоянной базой. Если производится сравнение каждого уровня с предыдущим уровнем, то получаются показатели динамики с переменной базой (цепные показатели динамики). Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем, то получаются показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели динамики).

Абсолютный приростпоказывает, на сколько в абсолютном выражении (руб., га, чел., ц) уровень текущего периода больше (меньше) базисного.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз уровень текущего периода больше (или меньше) базисного.

Темп роста – это коэффициент роста, выраженный в процентах; показывает сколько процентов уровень текущего периода составляет по отношению к уровню базисного периода.

Темп прироста – показывает, на сколько процентов уровень текущего периода больше (+), или меньше (-) уровня базисного периода.

Абсолютное значение 1% прироста показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем – одним процентом прироста.

Методы расчета показателей динамики представлены в таблице 1, они одинаковы для моментных и для интервальных рядов.

Таблица 1 – Показатели динамики

Показатель	Метод расчета
с переменной базой (цепные)	с постоянной базой (базисные)
1. Абсолютный прирост (Δ)
2. Коэффициент роста (КР)
3. Темп роста (ТР), %
4. Темп прироста (ТП), %
5. Абсолютное значение 1% прироста (А)

где: у_i – уровень любого периода (кроме первого), называемый уровнем текущего периода;

у_i-1 – уровень периода, предшествующего текущему;

у_k – уровень, принятый за постоянную базу сравнения (часто начальный уровень).

17-21. 1. Понятие индексов, классификация индексов

Индексы относятся к важнейшим обобщающим показателям. Слово «индекс» в переводе означает показатель, указатель. Оно используется как понятие в математике, экономике, в метрологии и др. науках.

Статистический индекс - это относительная величина, используемая для сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц во времени пространстве или по сравнению с эталоном. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию. Например, данные о количестве произведенных и реализованных различных видов продовольственных или непродовольственных товаров в натуральном выражении. Бессмысленно для получения общего объема реализации суммировать, например, данные о продаже тканей (в метрах), костюмов (в штуках), обуви (в парах) и т.д.

Основой индексного метода при определении изменений, например, в производстве и обращении товаров является переход от натурально-вещественной формы выражения товарных масс к стоимостным, трудовым или затратным измерителям. Поскольку не смотря на различия потребительных стоимостей отдельных товаров, все они являются результатом труда и поэтому могут быть выражены общей мерой через стоимость, трудовые затраты и издержки производства.

Все индексы можно классифицировать по следующим признакам: по охвату явлений (элементов совокупности) они делятся на индивидуальные и общие, по содержанию индексируемых величин - объемные и качественные, по форме построения - на агрегатные и средние из индивидуальных (среднеарифметические взвешенные и среднегармонические взвешенные), по базе сравнения - динамические (цепные, базисные) и территориальные, по применяемым весам - с постоянными весами, с переменными весами, по составу - индексы переменного состава и индексы постоянного состава, по периодам исчисления - годовые, квартальные, месячные, недельные.

2. Индивидуальные и общие индексы

Введем обозначения:

i - индивидуальные (простые, одинарные) индексы;

I - сводные общие индексы.

Буквы для обозначения признаков могут быть любыми, но чаще всего обозначают:

р - цена единицы продукции;

z - себестоимость единицы продукции;

q - физический объем продукции произведенной, проданной и потребленной;

f - заработная плата;

w - производительность труда (средняя выработка);

t - трудоемкость изготовления единицы продукции;

Т - общие затраты труда (tq), (человеко-часов, человеко-дней, человек);

Z - общие издержки производства (zq) на продукцию данного вида;

Р - общая стоимость произведенной продукции (pq) данного вида.

Отчетные данные (которые сравнивают) в статистике обозначают подстрочным значком «1», базисные (с которыми сравнивают) - «О». В качестве баз в индексных отношениях могут выступать плановые данные, данные за предшествующие периоды, данные по другим аналогичным объектам.

Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложной совокупности, представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана, сравнения. Их расчет не требует знания специальных правил. Они вычисляются просто как темпы роста. Если требуется, например, показать по каждому товару динамику цены или объема, то берут соответствующую величину отчетного периода и делят на величину базисного периода.

Индивидуальный индекс физического объема

Индивидуальный индекс цены

Индивидуальный индекс товарооборота

Общие индексы отражают изменения, служат для характеристики изменения всех элементов сложного явления. Если индексы охватывают часть элементов сложного явления, то их называют групповыми или субиндексами.

Важной особенностью общих индексов является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами. Синтетические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение (агрегирование) в целое единиц статистической совокупности. Аналитические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя. На основе изучения состава и роли факторов, выявления силы их действия, осуществляются возможности квалифицированного управления развитием экономических процессов не только в нужном направлении, но и с заранее заданными параметрами.

Пример 1. Имеются следующие данные (гр. 1-5)

Товары	Базисный период	Отчетный период	Индивидуальные индексы	Товарооборот, тыс. руб.	Индивидуальный индекс товарооборота
Кол-во товаров, тыс. шт.,	Цена единицы, руб.	Кол-во товаров, тыс. шт.,	Цена единицы, руб.	Цены	Количества	Базисный период	Отчетный период
А     В					20/6= =3,333 30/15==2,000	50/40==1,25 600/500= =1,2	40х6= =240 500х15= =7500	50х20= 600х30= =18000	1000/240=4,167   18000/7500=2,4
	Х	Х	Х	Х	Х	Х	∑p0q0=7740	∑p1q1=19000	Х

Определить индивидуальные индексы (i_p, i_q, i_pq) общие индексы ( , J_p,, J_pq).

Решение.

1. Величины индивидуальных индексов см. гр.6,7,10. Выражаются индексы в коэффициентах или в виде процентов.

В статистике часто приходится иметь дело с такими показателями, которые связаны между собой, как сомножители связаны с произведением. Например, товарооборот равен произведению цены на физический объем товарооборота. Связь между индивидуальными индексами в таких случаях, такая же, как между соответствующими показателями:

Такая взаимосвязь дает возможность по двум имеющимся индексам находить третий. Такие индексы называются сопряженными и образуют систему взаимосвязанных индексов.

Индивидуальный индекс товарооборота в данном случае можно определить двумя способами (см. гр. 10):

Общие индексы можно определить тремя способами: 1) по агрегатной формуле; 2) по формуле средневзвешенного индекса и 3) на основе взаимосвязи индексов. В зависимости от цели исследования используют ту или иную форму построения.

3. Агрегатные индексы

Агрегатный индекс характеризует среднее изменение сложного явленная. Латинское слово «агрегат» (aggregatus) означает «складываемый», суммируемый. Особенность этой формы индекса состоит в том, что в агрегатной форме сравниваются две суммы одноименных показателей. Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Индексируемой величиной называется признак, изменение которого изучается. Вес индекса - это величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин.

Каждый экономический индекс решает определенную задачу. Экономическое содержание индекса предопределяет методику его расчета. Методика построения агрегатного индекса предусматривает решение трех вопросов:

1. Какая величина будет индексируемой;

2. По какому составу разнородных элементов явления необходимо исчислить индекс;

3. Что будет служить весом при расчете индекса.

При выборе веса индекса принято руководствоваться правилом: если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период, при построении индекса качественного показателя используются веса отчетного периода. Количественные (объемные) индексы характеризуют изменение экстенсивных факторов, например, всевозможных количеств. К ним относятся все индексы физического объема: физического объема товарооборота, ВВП, объема продаж валюты и др.

Качественные индексы - это индексы цен, себестоимости, производительности труда, курса валют и др. Индексируемые величины этих индексов - качественные (интенсивные) показатели, характеризующие уровень явления в расчете на единицу совокупности (цена единицы продукции, себестоимость единицы продукции др.).

Построим три агрегатных индекса: индекс товарооборота, индекс цены и индекс физического объема товарооборота.

Товарооборот отчетного периода в отчетных ценах

Товарооборот базисного периода в базисных ценах

, 245,5%

это значит, что товарооборот вырос в среднем в 2,455 раза, что в абсолютном выражении составит

тыс. руб.

Аналогично рассчитываются индексы стоимости произведенной продукции, стоимости потребленной продукции и др.

Из этой формулы общего индекса товарооборота видно, что его величина зависит от изменения двух факторов:

- физического объема товарооборота (количества проданных товаров),

- р цены за каждую единицу реализованных товаров.

Чтобы выявить влияние каждой переменной в отдельности следует исключить влияние одной их них, то есть принять ее условно в качестве постоянной величины на уровне отчетного или базисного периодов.

Общее изменение цен можно определить при условии, что в качестве постоянной величины (весов) взято количество проданных товаров за отчетный или базисный периоды.

Товарооборот отчетного периода в базисных ценах

- это агрегатный индекс Г.Пааше (по имени немецкого ученого предложившего этот индекс).

Индекс Пааше показывает, как изменился уровень цен на товарную массу, которую население купило в отчетном периоде и каков выигрыш (потери) населения от снижения (повышения) цен на товары. В примере 1

204,3%

Это значит, что цены в среднем по двум товарам выросли в отчетном периоде по сравнению с базисным в 2,043 раза и потери, которые несет население от роста цен составляют:

тыс. руб.

Можно также сказать, что товарооборот вырос вследствие среднего роста цен на 9700 тыс. руб. в отчетном периоде по сравнению с базисным. Можно определить индекс цен и по формуле Ласпейреса, если веса (количество товаров) взяты в базисном периоде.

- индекс Э. Ласпейреса, показывает, как в среднем изменились цены на товары, проданные в базисном периоде. Разность между числителем и знаменателем этого индекса дает представление об условном изменении объема товарооборота при продаже в предстоящем периоде такого же количества товаров, что в базисном, но по новым ценам

Этот индекс применяют при прогнозировании изменения объема товарооборота в связи с намечаемыми изменениями цен на товары в предстоящем периоде.

Идеальный индекс Фишера - средняя геометрическая из произведения двух агрегатных индексов Ласпейреса и Паше

Агрегатный индекс физического объема товарооборота должен отражать изменение физического объема в отчетном периоде по сравнению с базисным, и поэтому при его построении в качестве весов берутся цены отчетного периода или сопоставимые (базисные) цены.

Товарооборот базисного периода в сопоставимых (базисных) ценах

Это индекс Ласпейреса

В примере 1

120,2%.

Это значит, что в отчетном периоде по сравнению с базисным физический объем товарооборота увеличился в среднем на 20,2%, что в абсолютном выражении составило:

тыс. руб.

Это значит, что в отчетном периоде по сравнению с базисным товарооборот вследствие изменения только объемов проданных товаров вырос в среднем на 1560 тыс. руб.

Можно определить I_q и по формуле Пааше

Взаимосвязь общих индексов. Взаимосвязь между общими индексами такая же как между соответствующими показателями не всегда, а лишь в том случае, когда предположения об изменении весов сопоставимы. Например,

Если 2 фактора, то

Или

11260=9700 + 1560

Если более 2-х факторов, то схема следующая:

1. Сначала выбираем очередность изменения факторов, учитывая, что качественные индексы строятся на весах отчетного периода, а объемные – на весах базисного периода.

2. Вычисляем 1-й индекс в предположении, что меняется 1-й фактор.

3. Вычисляем 2-ой индекс в предположении, что после изменения 1-го фактора меняется 2-й.

4. Вычисляем 3-й индекс в предположении, что после изменения первых двух факторов меняется третий и т.д.

Системы агрегатных индексов

Уравнение связи	Качественные индексы	Объемные индексы	Индексы результативной величины	Системы взаимосвязанных индексов

4. Средневзвешенные индексы

Средневзвешенные индексы исчисляются тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитывать общий агрегатный индекс.

В статистической практике средние индексы рассчитываются преимущественно в форме среднего арифметического и среднего гармонического индексов:

и

где - индивидуальные индексы изучаемого показателя (индексируемой величины);

- веса соответственно в среднем арифметическом и среднем гармоническом индексах.

Веса для среднего арифметического и среднего гармонического индексов определяются, исходя из тождества их агрегатному, который является основной формой, общего индекса. При этом для каждого конкретного индекса веса особые.

Какой формулой следует воспользоваться в каждом конкретном случае диктуют исходные данные.

Рассмотрим, как производится преобразование агрегатного индекса физического объема в индекс средневзвешенный.

Если располагаем данными об индивидуальных индексах физического объема и стоимости продукции базисного периода в базисных ценах , то знаменатель индекса оставим без изменения, а в числителе агрегатного индекса заменим на . Тогда формула индекса физического объема продукции примет вид

.

В таком виде индекс физического объема продукции выступает как средняя арифметическая величина из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости продукции базисного периода в базисных ценах.

Если располагаем данными об индивидуальных индексах физического объема и стоимости продукции отчетного периода в базисных ценах, то числитель агрегатного индекса оставим без изменения, а в знаменателе заменим на . В результате получим общий индекс физического объема в форме среднего взвешенного гармонического индекса

Такое преобразование наглядно показывает тождество между агрегатным индексом и средним арифметическим и средним гармоническим индексами физического объема.

Пример 2. Имеются следующие данные:

Изделие	Стоимость продукции базисного периода в базисных ценах, тыс. руб.	Индивидуальные индексы объема продукции	Доля изделий в стоимости продукции базисного периода
Б В		1,06 1,12	0,385 0,615
Итого		-	1,000

Определить общий индекс физического объема.

Решение.

В данном примере общий индекс физического объема рассчитаем по формуле среднего арифметического индекса

109,7%

Это означает, что в целом по всем изделиям выпуск продукции увеличился в среднем на 9,7% (109,7-100).

Вместо абсолютных данных о стоимости отдельных изделий в базисном периоде можно принимать их доли (удельный вес) в общей стоимости, т.е.

.

Тогда формула среднего арифметического индекса из индивидуальных будет иметь вид

поскольку .

Расчет по этой формуле дает тот же результат.

109,7%

Если выражено в процентах формула среднего арифметического индекса будет

Применительно к индексам цен возможны два варианта взвешивания и для среднего арифметического и для среднего гармонического индексов, в зависимости от того по отношению к какому агрегатному индексу рассматривается их тождество: к индексу Ласпейреса или Пааше.

Приведем общую схему преобразования агрегатных индексов в индексы средние арифметические и средние гармонические (Таблица).

Таблица Схема преобразования агрегатных индексов

Наименование индексов	Индивидуальный индекс	Преобразование индивидуального индекса	Агрегатный индекс	Средний арифметический индекс	Средний гармонический индекс
Физического объема
Цен (Пааше)
Цен (Ласпейреса)
Себестоимости
Производительности труда

Рассмотрим пример.

Пример 3. Имеются данные (гр. 1-4)

Товары	Товарооборот, млн. руб.	Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %	Индивидуальные индексы цены,
Базисный период,	Отчетный период
А Б В			Без изменения +5 -20	1,00 1,05 0,80
Итого

Определить общие индексы цен , товарооборота и физического объема товарооборота .

Решение.

Раз дано изменение цен на товары, значит, известны индивидуальные индексы цен (см. гр.5).

1) Преобразуем агрегатный индекс Пааше. Получим средний

взвешенный гармонический индекс цен, тождественно равный агрегатному индексу. Подсчитаем его.

96,5%

Следовательно, цены на товары отчетного периода в среднем снизились на 3,5%. Сумма экономии, полученная населением от снижения цен составила

млн. руб.

Индекс цен Ласпейреса преобразуется в средний взвешенный арифметический индекс

98,3%.

Это значит, что цены в отчетном периоде на товары базисного периода в среднем снизились на 1,7% и условное снижение объема товарооборота в связи со снижением цен на товары базисного периода составило

млн. руб.

2) Индекс товарооборота

95,4%

млн. руб.,

т.е. товарооборот под влиянием 2-х факторов снизился на 4,6% или на 40 млн. руб.

3) Индекс физического объема

98,9%

млн. руб.,

т. е. объем товарооборота снизился в среднем на 1,1% и абсолютное изменение товарооборота под влиянием этого фактора составило 3,8 млн. руб.

5. Индексы динамики средних величин. Индексы переменного, постоянного составов и структурных сдвигов

В ряде случаев приходится изучать динамику общественных явлений, уровни которых выражены средними величинами. Динамика средних показателей (средней себестоимости, средней заработной платы, средней урожайности, средней производительности труда и др.) зависит от одновременного изменения двух факторов: вариант из которых формируются средние и удельных весов этих вариант, то есть от структуры изучаемого показателя.

где

Совместное действие указанных факторов на общее изменение динамики среднего уровня показателя, а также роль каждого фактора в отдельности в общей динамике средней выявляются в статистике при помощи системы взаимосвязанных индексов: индекса переменного состава, индекса фиксированного состава и индекса структурных сдвигов.

Индекс переменного состава определяется по формуле

При этом абсолютное изменение средней величины показателя определяется разницей между делимым и делителем данного индекса:

показывают относительное и абсолютное изменение средней величины показателя за счет двух факторов вместе: вариант и их удельных весов.

Индекс постоянного состава определяется по формулам:

Он показывает, как изменилась средняя величина только за счет изменения вариант.

В абсолютном выражении это составит

Индекс структурных сдвигов характеризует степень влияния структурных сдвигов на изменение средней величины. Определяется по формулам

При этом изменение средней величины за счет структурных сдвигов вычисляется по формулам

Эти индексы и абсолютные изменения взаимосвязаны между собой:

Пример 3. Имеются следующие данные о количестве и себестоимости продукции вида «А», выпущенных двумя предприятиями (гр.1-4)

№ предприятия	Произведено продукции вида «А», тыс. шт.	Себестоимость ед. продукции, руб.	Индивидуальный индекс себестоимости продукции,	Удельный вес в % к итогу,
Поделиться:	Дата добавления: 2014-12-23; просмотров: 979; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав