В нерелятивистском случае

, (2)

где m₀ – масса покоя частицы.

В релятивистском случае

, (3)

где Е₀ = m₀с² – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:

в нерелятивистском случае

, (4)

в релятивистском случае

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U₁ = 51 В и U₂ = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, которую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона Т, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, Т=eU.

В первом случае Т₁ = eU₁ = 51 эВ = 0, 51×10^-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е₀ = m₀с² = 0, 51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Т₁= 10^-4 m₀с². Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде .

Учитывая, что есть комптоновская длина волны l, получим . Так как l = 2, 43 пм, то .

Во втором случае кинетическая энергия Т₂ = eU₂ = 510 кэВ = 0, 51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что Т₂ = 0, 51 МэВ = m₀с², по формуле (5) найдем

, или .

№ 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Р е ш е н и е.

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид , где Dx – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); Dр – неопределенность импульса частицы (электрона); – постоянная Планка, деленная на 2p.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где –то в пределах области с неопределенностью

Δх = l/2 . (1)

Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде , откуда

. (2)

Физически разумная неопределенность импульса Dр во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р, т.е. Dр » р.

Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением . Заменим Dр на (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим .

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

.

№ 4. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Р е ш е н и е.

Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Dm и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

, (1)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); m_р, m_n, m – соответственно, массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса М нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих нейтральную оболочку атома: М = m+Zm_e , откуда m = М - Zm_e.

Выразив в равенстве (1) массу ядра по последней формуле, получим Δm = Ζm_p+ (A – Ζ)m_n – M +Ζm_e, или Δm = Ζ(m_p +m_e) + (A – Ζ)m_n –­­ M.

Замечая, что m_е + m_p = M_H, где M_H – масса атома водорода, окончательно получим

. (2)

Подставив в выражение (2) числовые значения масс (из справочных таблиц), получим

Энергией связи DЕ ядра называется энергия, которая в той или иной форме выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов.

В соответствии с соотношением пропорциональности массы и энергии

Е = с²Dm, (3)

или с² = Е /Dm = 9×10¹⁶ Дж/кг. Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с² = 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (3) примет вид

Е = 931 Dm (МэВ). (4)

Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра в формулу (4), получим

Е = 931×0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

№ 5. При соударении a – частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одно из них – ядро атома водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Р е ш е н и е.

Обозначим неизвестное ядро символом . Так как a – частица представляет собой ядро гелия , запись реакции имеет вид .

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение

4 +10 = 1 + А, откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1 +Z, откуда Z = 6.

Следовательно, неизвестное ядро является ядром изотопа атома углерода .

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле Q = 931 [(m_He+ m_B) – ( m_H + m_C)]. Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут, и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов, взятые из справочной таблицы в расчетную формулу, получим

Q = 931 [(4,00260+10,01294)-(1,00783+13,00335)] Мэв = 4,06 МэВ.

№ 6. Определить начальную активность радиоактивного препарата магния ²⁷Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6 ч. Период полураспада T_1/2 магния считать известным.

Р е ш е н и е.

Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и равняется числу ядер, распадающихся в единицу времени: , где dN – число ядер, распавшихся за время dt.

Согласно основному закону радиоактивного распада , где l – постоянная радиоактивного распада. Так как , где N₀ – число не распавшихся ядер в момент времени, принятый за начальный, то .

Очевидно, что начальная активность при t = 0

А₀ = lN₀ . (1)

Поэтому закон изменения активности со временем выражается формулой

. (2)

Начальную активность определим по формуле (1). Входящая в эту формулу постоянная радиоактивного распада l может быть выражена через период полураспада соотношением l = ln 2/T_1/2 = 0,693/T_1/2.

Для ²⁷Mg период полураспада T_1/2 = 10 мин = 600 с. Следовательно, l = 0,693/600 с^-1 = 1,15×10^-3 с^-1.

Число радиоактивных атомов N₀, содержащихся в изотопе, равно произведению числа Авогадро N_A на количество вещества n данного изотопа: , где m – масса изотопа; m – молярная масса. Выразив в этой формуле значения величин в системе Си, получим ядер = 4,46×10¹⁵ ядер.

Вычислим по формуле (1) начальную активность изотопа: А₀ = lN₀ = 1,15×10^-3×4,46×10¹⁵ Бк = 5,13×10¹² Бк. Или А₀ = 5,13 ТБк.

Активность через 6 ч (6ч = 2,16×10⁴ с) получим по формуле (2): .

№ 7. Космическое излучение на уровне моря на экваторе образует в воздухе объемом V = 1 см³ в среднем N = 24 пары ионов за время t₁ = 10 c. Определить экспозиционную дозу X, получаемую человеком за время t₂ = 1 год.

Р е ш е н и е.

Экспозиционную дозу, получаемую человеком, можно выразить формулой

, (1)

где X – мощность экспозиционной дозы излучения.

Мощность дозы , где Q – заряд ионов одного знака, образуемых излучением за время t₁ в воздухе массой m. Масса m = rV. Заряд всех ионов одного знака найдем, умножив элементарный заряд на число ионов: Q =êeêN.

Формула (1) с учетом выражений для и Q примет вид . Выразим величины, входящие в формулу (2), в единицах СИ и, выполнив вычисления, получим: X = 9,41 мкКл/кг.