![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Интегрирование по частямСпособ основан на известной формуле производной произведения: (uv)¢ = u¢v + v¢u где u и v – некоторые функции от х. В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu Проинтегрировав, получаем:
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций. Пример. Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному. Пример.
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов. Пример. Пример. Пример. Пример.
Пример. Пример. Пример. Пример. Пример. Интегрирование элементарных дробей Определение: Элементарныминазываются дроби следующих четырех типов: I.
II. m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b2 – 4ac <0. Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b. I. II. Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III. Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде: Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам. Пример. Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом. Пример. Пример.
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1. Тогда интеграл вида
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям. Обозначим: Для исходного интеграла получаем:
Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае. В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному Пример:
|