![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная по направлениюРассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz). Проведем через точки М и М1 вектор Расстояние между точками М и М1 на векторе
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:
M
M1
Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:
где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при Из геометрических соображений очевидно: Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:
Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора Из этого уравнения следует следующее определение: Определение: Предел Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора
Далее определяем модуль этого вектора:
Находим частные производные функции z в общем виде: Значения этих величин в точке А : Для нахождения направляющих косинусов вектора
За величину Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора cosa = Окончательно получаем:
|