Вопрос 18. Соединение резисторов треугольником и звездой. Мостовые схемы. Преобразование треугольников сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот.

Если имеется 3 сопротивления, образующих 3 узла, то такое сопротивление составляет пассивный треугольник, а если имеется только один узел, то сопротивления составляют пассивную звезду.

пассивный треугольник

пассивная звезда

Эти схемы можно эквивалентно заменить одна другой, если все токи в ветвях не подвергнутся преобразованию (то есть то, что за пределами штриховой линии не изменится). Из этих предпосылок получим следующие формулы преобразования:

(преобразование треугольника в звезду):

Сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений сторон треугольника, примыкающих к той же вершине, что и луч звезды, делённое на сумму всех сопротивлений сторон треугольника:

(преобразование звезды в треугольник):

Сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений лучей звезды, примыкающих к тем же вершинам, что и сторона треугольника, плюс произведение этих сопротивлений, делённое на сопротивление третьего луча звезды:

Преобразование треугольника в звезду применяется в мостовых схемах, которые представляют собой 4 резистора, соединённых четырёхугольником, в одну диагональ которого ставится источник, во вторую — измерительные приборы. Найти входное сопротивление таких схем без предварительного преобразования невозможно.

Задача

Дано:

Найти все токи и направить их.

Выполним преобразование треугольника ABC в эквивалентную звезду:

Рассчитаем входное сопротивление и ток:

Найдём напряжение на разветвлённом участке OD и токи в его ветвях:

В первоначальной схеме направим токи, ток направим произвольно.

Для треугольника, который не заменяли, составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Чтобы найти токи и , составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов B и C:

B:

С: