Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Передаточная функция

Читайте также:
  1. D) Осы кесіндіде функция шенелген болуы керек
  2. Return x; нет этой инструкции, ведь функция так ничего не вернет!
  3. А) - функциялары аралығында сызықты тәуелсіз және олардың әрқайсысы көрсетілген біртекті теңдеудің шешімдері
  4. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  5. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  6. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  7. Автокорреляционная функция
  8. Аржы нарығы, экономиканы дамытудағы оның маңызы. Қаржы нарығының функциялары
  9. Аржылардың функциялары
  10. Арифметические операции над непрерывными функциями. Композиция непрерывных функций

Целью рассмотрения САУ может быть решение одной из двух задач: задачи анализа или задачи синтеза. Но в любом случае порядок исследования САУ включает в себя следующие этапы: математическое описание, исследование установившихся режимов, исследование переходных режимов.

Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе можно выделить объект О и управляющее устройство УУ, как показано на рис.2.1.

 

f(t)

 

g(t) e(t) y(t) x(t)

УУ О

 

 

Рис.2.1

Общее уравнение САУ получается из системы уравнений объекта и управляющего устройства.

Состояние объекта характеризуется выходной величиной x(t), регулирующим воздействием y(t) и возмущением f(t). Тогда выходная величина может быть представлена функцией:

Состояние управляющего устройства характеризуется регулирующим воздействием y(t) и входным воздействием e(t). Процессы в УУ будут описываться двумя уравнениями:

Три последних уравнения полностью описывают процессы в САУ. Если в этих уравнениях исключить переменные y(t) и e(t), то получим дифференциальное уравнение САУ:

Это уравнение оценивает состояние системы во времени, определяет переходные процессы и обычно называется уравнением динамики.

Однако в форме дифференциальных уравнений математическое описание в теории автоматического управления обычно не применяется вследствие сложности решения таких уравнений.

Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.

Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один выход. Дифференциальное уравнение элемента в общем случае имеет вид:

(2.1)

Если в уравнение (2.1) вместо функции времени и ввести функции и комплексного переменного р, поставив условием, что эти функции связаны зависимостями:

(2.2)

то оказывается, что дифференциальное уравнение, содержащее функции и , при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему функции и :

(2.3)

Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа.

Функция называется изображением функции , функция называется оригиналом функции .



Операция перехода от искомой функции к ее изображению (нахождение изображения от оригинала) называется прямым преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа L как

Операция перехода от изображения к искомой функции (нахождение оригинала по изображению) называется обратным преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа как

Формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому относительно изображения при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций , соответственно на и функций - их изображениями . С комплексной переменной , как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.

Так как возможность однозначного перехода от дифференциального уравнения к алгебраическому значительно упрощает расчеты, то важно убедиться в правомерности такого перехода.

Обозначим в исходном дифференциальном уравнении и согласно интегралу (2.2) найдем изображение:

Согласно правилу интегрирования по частям

=

При нулевых начальных условиях и с учетом (2.2) получим:



Таким образом, операция дифференцирования оригинала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число .

Так как

то и т.д.

Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.1). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков.

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение искомой функции , определяющей переходной процесс в системе, находят эту функцию, пользуясь таблицами оригиналов и изображений или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.

Кроме того, преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести понятие передаточной функции.

Вынеся в уравнении (2.3) и за скобки, получим:

Определим из этого уравнения отношение изображения выходной величины к изображению входной:

(2.4)

Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента (или системы).

Передаточная функция W(p) является дробно-рациональной функцией комплексной переменной р:

где - полином степени n,

- полином степени m.

Из определения передаточной функции следует, что:

Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции.

Рассмотрим примеры по определению передаточной функций некоторых простейших схем, характерных для электроники.

 


Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 12; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Ж). Системы оптимальные и неоптимальные (обыкновенные). | Пример 2.5.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.016 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты