Временные функции и характеристики

Под временными характеристиками в общем случае понимается графическое изображение процесса изменения выходной величины в функции времени при переходе системы из одного равновесного состояния в другое в результате поступления на вход системы некоторого типового воздействия.

Так как дифференциальное уравнение системы тоже определяет изменение выходной величины в функции времени при некоторых начальных условиях, то временная характеристика изображает собой решение дифференциального уравнения для принятого типового воздействия и, следовательно, полностью характеризует динамические свойства системы.

Так как временные характеристики могут быть получены не только путем решения дифференциального уравнения, но и экспериментально, то возможность определения динамических свойств системы по временной характеристике имеет исключительно важное практическое значение, поскольку в этом случае не требуется выводить и решать дифференциальное уравнение.

В качестве типовых воздействий наиболее широкое применение находят единичное ступенчатое и единичное импульсное воздействия.

Математическое выражение единичного ступенчатого воздействия может быть записано в виде

Под единичным импульсным воздействием понимается предельно короткий импульс

площадь которого равна единице, то есть

Выражение для единичного импульса в математике принято называть дельта-функцией.

Графическое изображение реакции системы на единичное ступенчатое воздействие называется переходной характеристикой.

Аналитическое выражение переходной характеристики обозначается и называется переходной функцией.

Графическое изображение реакции системы на единичное импульсное воздействие называется импульсной переходной характеристикой.

Аналитическое выражение импульсной переходной характеристики обозначается и называется импульсной переходной функцией или весовой функцией (функцией веса).

При практических расчетах наиболее широкое применение находит временная характеристика в виде переходной характеристики, так как ее достаточно просто получить экспериментально и, кроме того, определяемый ею переходный процесс часто возникает при включениях и изменениях задающего воздействия.

При поступлении на вход системы с передаточной функцией величины на выходе получаем переходную характеристику .

В преобразованном по Лапласу виде входная и выходная величины запишутся

С учетом этих соотношений получим:

(2.9)

Из последнего выражения следует, что по переходной функции можно получить передаточную функцию.

При поступлении на вход САР величины на выходе получаем импульсную переходную характеристику или в преобразованном по Лапласу виде:

В результате определим:

(2.10)

Установим связь между переходной и импульсной переходной функциями, приравняв правые части выражений (2.9) и (2.10):

Но так как р соответствует символу дифференцирования, то

Импульсная переходная функция является производной от переходной функции.