Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Многомерные методы экспериментальной оптимизации.




Читайте также:
  1. Cтруктуры внешней памяти, методы организации индексов
  2. II. Методы искусственной детоксикации организма
  3. II. Методы несанкционированного доступа.
  4. III. Методы манипуляции.
  5. IV. Традиционные методы среднего и краткосрочного финансирования.
  6. IX. Методы СТИС
  7. R Терапевтическая доза лазерного излучения и методы ее определения
  8. V. Способы и методы обеззараживания и/или обезвреживания медицинских отходов классов Б и В
  9. Административно-правовые методы государственного управления. Государственное регулирование.
  10. Административные и правовые методы управления. Принуждение как метод управления.

Для поиска экстремума функции многих переменных применяется ряд методов, среди которых отметим:

метод покоординатной оптимизации; метод Бокса − Уилсона; последовательный симплексный метод.

Метод покоординатной оптимизацииМетод покоординатной оптимизации, называемый также методом Гаусса–Зейделя, сводит многомерную оптимизацию к последовательному применению одномерной к сечениям функции. Для этого фиксируют значения всех переменных, кроме одной, к которой применяется один из методов одномерной оптимизации. Затем начинают поиск по второй переменной, фиксируя первую на значении, обеспечившем экстремум, и т. д. После того как список переменных исчерпался, возвращаются к первой переменной, и так до тех пор, пока значение отклика возрастает (убывает). Метод отличается простотой, однако для функций овражистого типа, для которых линии равного уровня сильно вытянуты в направлении, не параллельном осям координат, поиск может продолжаться довольно долго. Метод Бокса−УилсонаНа основе малой серии опытов строится линейное описание поверхности отклика в окрестности начальной точки. В центре этой локальной области определяется значение градиента, после чего начинаются опыты в направлении градиента. Бокс и Уилсон предложили использовать дробные факторные планы для поиска линейной модели. Метод состоит из последовательности циклов, каждый из которых содержит два шага.

1. Построение линейной модели в окрестности некоторой начальной точки с использованием подходящего факторного плана. Окрестность начальной точки, определяемая интервалами варьирования переменных, должна быть не слишком малой, чтобы можно было выявить линейные эффекты на фоне случайных возмущений, и не настолько большой, чтобы обеспечить адекватность линейного приближения. Соотношение между интервалами варьирования по отдельным переменным должно быть таким, чтобы величины коэффициентов регрессии в случае их значимости имели бы одинаковый порядок. В случае адекватности линейной модели коэффициенты регрессии совпадают с компонентами градиента, т.е. , где i, j,…,k – направляющие векторы осей координат. Обычно переходят к нормированному градиенту делением его компонент на норму либо просто на . Компоненты нормированного градиента обозначим .



2. Пошаговое увеличение величины целевой функции (движение в направлении градиента). Координаты точки наблюдения на -м шаге при движении в направлении градиента определяются по формуле: , где ≥1 – параметр, позволяющий управлять величиной шага, а следовательно, скоростью движения. Чем ближе исследователь подходит к стационарной области, тем меньше . Движение в направлении градиента продолжается до тех пор, пока возрастают значения выходной переменной. В противном случае вновь реализуют факторный план, находят новое линейное приближение и цикл повторяется снова. Если же модель оказывается неадекватной, то это означает, что исследователь либо достиг стационарной области, либо необходимо линейную модель дополнить взаимодействиями. В стационарной области метод Бокса−Уилсона неработоспособен, здесь необходимо переходить к квадратичным моделям.

Геометрическая интерпретация метода приведена на рис.4. Здесь поверхность отклика задается линиями уровня.

 

 
 
x2


x1
 
 

Рис. 4. Схема метода Бокса–Уилсона



Рассмотрим в качестве примера использование метода Бокса−Уилсона для поиска максимума функции

. (6.11)

Допустимая область изменения переменных: 0£х1£20, 0£х2£10, 1£х3£15. Начальная точка поиска х0= =(3,2,4). Линейное приближение будем строить в окрестности начальной точки, задаваемой условиями: , i=1,2,3. Значения Di желательно подбирать такими, чтобы приращения функции по каждому из аргументов были сопоставимы, то есть

. Примем D1=1, D2=2, D3=3. В соответствии с (6.1) стандартизованная переменная , если , и при .

Линейная модель требует для своей оценки не менее четырех экспериментов. Воспользуемся ДФЭ 23-1 с ГС: (табл. 16).

Таблица 16

i х1ст х1 х2ст х2 х3ст х3 y
40,8
-1 -1 26,2
-1 -1 24,4
-1 -1 25,4

 

В последнем столбце табл.16 содержатся значения функции (6.11) для исходных переменных, то есть 40,8=у(4,4,7) и так далее.

МНК-оценки коэффициентов линейной модели составят:

; ; .

Отнормируем полученные компоненты градиента, поделив их на максимальное значение : b1=3,4/4,3=0,79, b2=1, b3=0,91. Движение в направлении градиента представлено в табл.17.

Таблица 17

Формулы для вычисления компонент вектора Номера компонент вектора у
1-я 2-я 3-я
х0 31,3
Di  
bi 0,79 0,91  
bi´Di 0,79 2,73  
x0+1´bi´Di 3,79 6,73 39,9
x0+2´bi´Di 4,58 9,46 46,4
x0+3´bi´Di 5,37 12,19 50,6
x0+4´bi´Di 6,16 14,91 52,6

 



Движение в направлении градиента после четвертого шага невозможно из-за ограничения на х3. Теперь следует определить градиент в точке x0+3´bi´Di. Поскольку темп роста функции замедлился на последних шагах, область линейного описания следует сузить, уменьшив значения Di.


Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 28; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты