Задача 4 (20 баллов).

Предположим, что спрос на продукцию монополиста внутри страны задан функцией , где Р_h – цена на внутреннем рынке. Функция издержек монополиста имеет вид: . Монополист может продавать свою продукцию как на внутреннем рынке, так и на конкурентном рынке за рубежом по цене . Монополист выбирает объемы производства и продаж на двух рынках, максимизирующие его прибыль.

(Вы можете предполагать, что такие объемы существуют в каждой и рассматриваемых ниже ситуаций).

(3 балла) (а) Докажите, что совокупный объем продаж монополиста при любых ценах на зарубежном рынке и любом спросе на отечественном рынке не может быть равным нулю.

(6 балла) (б) Докажите, что монополист получает на каждом рынке, где он продает свою продукцию, одну и ту же выручку от продажи последней ее единицы, которая к тому же не ниже выручки от продажи этой единицы на том рынке, где продаж нет.

(4 балла) (в) Докажите, что на каждом рынке, где осуществляются продажи, выручка от продажи последней единицы будет равна предельным издержкам производства.

(4 балла) (г) Докажите, что монополист заинтересован в продажах на отечественном рынке тогда и только тогда, когда максимальная цена на зарубежном рынке будет ниже .

(3 балла) (д) Как зависит объем продаж на отечественном рынке от цены за рубежом, если продажи на обоих рынках положительны?

Решение:

(а) От противного. Пусть , тогда . 1 балл

Покажем, что это решение не максимизирует прибыль фирмы, так как найдется положительный выпуск , приносящий более высокую прибыль.

Пусть . Тогда при . Это противоречит гипотезе о том, что нулевой выпуск приносит максимальную прибыль. Таким образом, оптимальный объем продаж будет положителен. 2 балла

(б) Докажем первую часть утверждения. Пусть и . Покажем, что . От противного, пусть . Без ограничения общности можем считать, что . Поскольку мировой рынок совершенно конкурентен, то , для внутреннего рынка .

Покажем, что перераспределив продажи в сторону рынка с большей величиной предельной выручки (в данном случае в пользу внутреннего рынка), мы сможем увеличить прибыль. 1 балл

Пусть и .

Поскольку совокупный выпуск при этом не изменился ( ), то издержки монополиста остались прежними, а прибыль будет меняться лишь в силу изменения выручки:

при . Заметим, что множество решений данного неравенство не пусто, поскольку по условию . 2 балла

Итак, мы показали, что исходная прибыль при различных значениях предельной выручки может быть увеличена. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Докажем вторую часть утверждения. Пусть . Покажем, что . Пусть это неверно . Тогда перераспределив продажи в пользу внутреннего рынка, мы сможем увеличить прибыль. 1 балл

Пусть . Поскольку совокупный выпуск не изменился, то издержки будут прежними, а изменение прибыли составит

при . 2 балла

(в) Пусть . Покажем, что , то есть . От противного, пусть . Без ограничения общности можно считать, что . Покажем, что, произведя дополнительный выпуск в объеме и продав его за рубежом, монополист смог бы увеличить свою прибыль: 1 балл

при . Заметим, что множество решений данного неравенство не пусто, так как по условию . 1 балл

Покажем, что аналогичное условие верно и для внутреннего рынка. Пусть . Покажем, что , то есть . От противного, пусть . Без ограничения общности можно считать, что . Покажем, что, произведя дополнительный выпуск в объеме и продав его на внутреннем рынке, монополист смог бы увеличить свою прибыль: 1 балл

при . Множество решений данного неравенства не пусто, так как по условию . 1 балл

(г) Пусть . Покажем, что . От противного, пусть . Тогда в силу пункта (а) . При имеем , что противоречит утверждению, доказанному в пункте (б). 2 балла. Итак, .

Покажем, что верно и обратное. Пусть . Докажем, что . От противного, пусть . Тогда . В соответствии с пунктом (б), предельные выручка на внутреннем рынке может быть ниже лишь при . Полученное противоречие доказывает исходное утверждение. 2 балла

(д) Если продажи на обоих рынках положительных, то согласно условию (б) имеем

, откуда находим . 2 балла. Таким образом, повышение цены за рубежом приводит к падению продаж на внутреннем рынке. 1 балл

Жюри рассматривает записи решений, приведенные в чистовике. Черновик работы может быть рассмотрен жюри, если на него есть ссылка в самой работе. То есть участник конкретно указывает на какой-то материал в черновике. В черновике для ясности его тоже нужно пометить.

Решение каждой задачи оценивается жюри в соответствии с количеством баллов, установленных для задачи. По каким-то конкретным пунктам задачи полный балл может быть не выставлен. Получение отрицательных баллов за задачу невозможно.

Проверка задач осуществляется Жюри олимпиады, согласно следующим критериям оценивания решения задач: