Правило 1.2 нахождения точек перегиба графика функции (используется вторая производная).

Для отыскания точек перегиба графика дважды дифференцируемой функции

следует:

1. Найти точки, «подозрительные на перегиб».

2. Точка перегиба достигается в тех , при переходе через которые меняет знак.

Пример 1.3.Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение. Вычисляем вторую производную функции

и находим точки подозрительные на перегиб. В этих точках вторая производная равна нулю

		-2		-1
				-1

Между критическими точками производная функции сохраняет знак.

Ответ. Функция

1) на интервале выпукла вниз, 2) на интервале выпукла вверх, 3) на интервале выпукла вниз.

Согласно правилу 1.2 существования точек перегиба

1) точка является точкой перегиба графика функции.

2) точка является точкой перегиба графика функции.

Пример 1.4.Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение. Вычисляем вторую производную функции

Находим точки « подозрительные на перегиб». В этих точках вторая производная равна нулю или не существует. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Дробь не существует, если знаменатель равен нулю. В нашем случае только знаменатель равен нулю. Поэтому точкой

« подозрительной на перегиб» является точка .

		нет

Между точками « подозрительными на перегиб» вторая производная функции сохраняет знак.

Ответ. Функция

1). на интервале выпукла вниз , 2) на интервале выпукла вверх.

Так как касательная в точке является вертикальной прямой, то согласно определению 1.5 точка является точкой перегиба графика функции см. рис 7.

рис.7