Задача о магических квадратах

Эта задача возникла при подготовке детей к сдаче тестов по IQ. Прохождение курса, основы которого будут показаны, повышает коэффициент интеллекта, показанный на тестах, на 10‑15 %.

Первое задание. Дан квадрат с цифрами, необходимо их расставить так, чтобы получился магический квадрат, т. е. суммы чисел по горизонталям, вертикалям и диагоналям были равны.

Таблица № 4

Таблица № 5

Таблица № 6

Таблица № 7

В начальной школе есть аналогичные примеры. Дети пытаются найти решение до 20 мин. путем перебора цифр, быстро найти решение помогает подсказка: двойки располагаются по диагонали. Одно из решений дано в таблице № 6. Этим обычное решение завершается.

Во-первых, как это связано с IQ? Типовая задача имеет вид на таблице № 4. Надо вставить недостающее число на место звездочки.

Во-вторых, тут наступает точка различения задачи обычной и задачи математической. Суть различия в том, что математик поставит задачу найти язык описания решения и найти все решения, которые имеет данная задача. Что касается языка решений, то его можно изобразить геометрически.

Таблица № 8

Если принять такие правила заполнения, то решение может быть записано только одним столбиком, например правым. Тогда можно построить систему всех решений, не заполняя каждый из получившихся квадратов.

Таблица № 9

Алгоритм языка решения дает возможность найти и записать сразу пакет решений. Это смена уровня парадигмы. Язык более высокого уровня позволяет решать задачу, не расставляя цифры в квадрате. Это кардинальное отличие стиля мышления математика от стиля мышления педагога и вычислителя.

Следующее задание. Построить решение для квадрата 5 × 5, затем 7 × 7. В этих примерах для поиска решения необходимо применить задачу расстановки ладей на шахматной доске. Расставить ладьи так, чтобы они не рубили друг друга. Способов расстановки ладей столько же, сколько горизонталей. Центральное расположение – по диагонали, там должны стоять средние цифры, для 5 × 5 это 3, для 7 × 7 – 4.

Таблица № 10

3

Таблица № 11

В таблице № 10 дан алгоритм решения. Диагональ занимают тройки, а далее 1 и 5, 2 и 4 образуют пары, связанные друг с другом. Восемь ответов даны в таблице № 11. Для записи решения используется правый столбец, так как по нему, имея алгоритм, можно восстановить весь квадрат. Если поместить тройки в другую диагональ, будет еще 8 решений. Так сразу находим все 16 решений.

Аналогично для всех квадратов, имеющих нечетное количество ячеек. Только все описанное должно преподаваться так, чтобы ученик сам находил закономерности и их проверял.

Иное решение требует квадрат 4 × 4 и серия четных квадратов. Здесь другой принцип алгоритма решения. Далее этот квадрат имеет несколько алгоритмов, причем запись возможных решений для всех алгоритмов одинакова. Рассмотрим их.

Таблица № 12

Таблица № 13

Таблица № 14

Таблица № 15

Первые три таблицы имеют разные алгоритмы, отличающиеся типом симметрии расположения цифр. Таблица № 15 имеет симметрию, но не дает решения (пример ложного решения в самом языке решений). Во всех случаях единицы и четверки, двойки и тройки объединены в две группы, сумма членов групп одинакова, группы внутри и между собой комбинируются в ответе. В первой (табл. № 12) и второй (табл. № 13) таблицах решение имеет две группы фигур. Единицы и четверки образуют ромбы из углов и в центр, в первой 2 и 3 расположены в прямоугольных фигурах, во второй таблице – в квадратах (вторая таблица полностью заполнена ходом коня).

Третья таблица (табл. № 14) имеет алгоритм универсальный для всех цифр. Запись решений (их 8) для каждого из трех вариантов имеет один и тот же вид, но разные квадраты.

Квадрат 4 × 4 дает представление не только о комбинаторике, которую дети, заполняя квадраты, узнают на практике, но и о принципах симметрии. Ибо магический квадрат всегда симметричен.

В целом решения позволяют говорить о языке решений. В данном случае он имеет геометрическое выражение, так как фигуры можно нарисовать, не обладая специальными математическими знаниями. Но эти решения могут быть заданы не только геометрически, но и на языке теории матриц, теории множеств, теории групп. У учителя есть возможность познакомить ученика с элементами этих стилей в математике.

В примерах данного типа повторение задачи есть составление новой или проверка гипотезы. Систематический подход позволяет решить задачу не единичную, а на основе задачи начать построение математической теории. И оказывается, что усложнение задачи по математике ведет к упрощению решения, к ускорению понимания и прочим положительным эффектам. Чем сложнее задача, тем быстрее она выводит в математику.