Вправи та завдання

Систематичну складову можна також виключити з ряду, оцінивши її за методом найменших квадратів або будь-яким іншим методом згладжування часового ряду.

2) Вибір параметрів р і q у моделі , яка описує стаціонарний ряд як процес авторегресії та ковзної середньої. На цьому етапі вельми корисними є графічні методи, а також порівняння авто­кореляційної та часткової авто­кореляційної функції із відповідними функціями відомих ARMA-процесів, наведених у табл. 3.5.1.

Таблиця 3.5.1

Характеристики -моделей

Модель	АКФ	ЧАКФ
Білий шум	всі нулі	всі нулі
МА(1)	нулі після r1	спадна після f11
МА(2)	нулі після r2	спадна після f22
МА(q)	нулі після rq	спадна після fqq
AR(1)	геометричнo спадна після r1	нулі після f11
AR(2)	геометричнo спадна після r2	нулі після f22
AR(p)	геометричнo спадна після rр	нулі після fрр
(1,1)	геометричнo спадна після r1	спадна після f11
(p, q)	геометричнo спадна після rр	спадна після fqq

Оцінювання параметрів моде­лі. Процедура обчислення коефіцієнтів розглядається тільки для стаціонарної -моделі. Цю модель пристосовують до даних спостережень шляхом знаходження оцінок параметрів та .

Параметри -моделі можуть бути оцінені за допомогою звичайного методу найменших квадратів (виходять зсунуті, але консистентні оцінки), та його не можна застосувати до або моделей. Наприклад, для -моделі неможливо оцінити параметри користуючись лише спостереженнями , оскільки невідомі значення параметрів для розрахунку . Метод максимальної правдоподібності уможливлює отримання консистентних та асимптотично ефективних оцінок коефіцієнтів для будь-якої моделі.

Діагностика моделі. Після знаходження оцінок параметрів перевіряють точність та адекватність побудованої мо­делі. Існує кілька різновидів критеріїв, що ви­значають значущість та стійкість параметрів, властивості залишків і придатність моделі для прогнозування.

Усі теоретичні моделі містять випадкову компоненту, тож, якщо оцінена модель ко­ректна, залишки мають бути “білим шумом”. Для цього обчислюють АКФ та ЧАКФ залишків і перевіряють їхню статистичну значущість за критеріями. Інший критерій розглядає розподіл залишків, який вважають нормальним у разі малої вибірки.

Коли задовільними виявляються кілька моделей, використовують принцип ощадливості, за яким обирається мо­дель із найменшою кількістю параметрів. Для використання цього принципу за числовими критеріями, які наведені в табл. 3.5.2, формалізується правило компромісу між точністю пристосування моделі та кількістю її параметрів.

Таблиця 3.5.2

Числові критерії

Назва критерію	Формула підрахунку	Бажаний екстремум
Коефіцієнт детермінації
Скоригований коефіцієнт детермінації
Інформаційний критерій Акаїке ( )		Min
Інформаційний критерій Шварца-Ріссанена ( )		Min
Критерій Ханнана-Квіна ( )		Min
Прогнозовий критерій ( )		Min

Прогнозування процесів авторегресії й інтегрованої ковзної середньої (ARIMA- процесів).

В моделях, під час прогнозування значення змінної для майбутнього моменту часу, лагові значення цієї змінної, які слугують пояснюючими змінними (регресорами) моделі, можна розглядати або фіксованими на вибіркових значеннях, або випадковими. Перша можливість призводить до умовного прогнозу, на кшталт множинної регресії, друга - до безумовного прогнозу. Точність умовного прогнозу завжди вища.

Для досягнення мінімуму середньоквадратичної помилки (MSE), потрібно взяти умовне математичне сподівання: .

Прогноз за моделлю : . Якщо коефіцієнти моделі точно відомі і є значення для , то безумовним точковим прогнозом для будь-якого моменту часу буде математичне сподівання процесу, тобто . Для знаходження умовного точкового прогнозу усі майбутні замінюються нулями, а минулі – залишками. Починаючи із кроку ( ) умовний прогноз є математичним сподіванням , тобто умовний прогноз збігається із безумовним.

Наприклад, умовним прогнозом, зробленим у момент часу на період є:

Похибка підраховується за формулою

У випадку процесу прогнозом на один період випередження є , для решти періодів , .

Прогноз за моделлю : . Для прогнозу на один крок вперед можна записати:

.

Тобто у рівняння моделі підставляють минулих значень реалізації часового ряду.

Для прогнозу на два кроки вперед одержують:

2.Якщо усі коефіцієнти автокореляції попадають в середину 95% інтервалу надійності і у них не спостерігається певної структури, то який висновок можна зробити про процес?

3.Якщо три перші коефіцієнти автокореляції додатні, суттєво відрізняються від нуля і у сукупності усі значення коефіцієнтів автокореляції поступово згасають до нуля, то про який процес іде мова?

4.Якщо для квартальних даних коефіцієнти автокореляції r₄, r₈ та r₁₂ значно перевищують нуль, то що можна сказати про процес?

5.За даними 30 місяців заданого часового ряду були одержані вибіркові коефіцієнти автокореляції рівнів цього ряду:

r₁ = 0.63; r₂ = 0.38; r₃ = 0.72; r₄ = 0.97; r₅ = 0.55; r₆ = 0.40; r₇ = 0.65.

а) Охарактеризувати структуру ряду, використовуючи графічне відображення.

б) Для прогнозування майбутніх значень пропонується побудувати авторегресійну модель. Обрати найкраще рівняння авторегресії, обґрунтувати вибір параметрів. Записати загальний вид цього рівняння.

6.Виразити нижченаведену модель за допомогою лагових поліномів, визначити, чи є вона стаціонарною та чи може бути оберненою?

.

7.Виразити нижченаведену модель за допомогою лагового поліному, визначити, чи є вона стаціонарною, знайти еквівалентний МА запис.

8.Відомі наступні значення рівнів безробіття у_t (%) за 8 місяців:

Місяць …. 1 2 3 4 5 6 7 8

y_t ………. 8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 7,0

Визначити, до якого класу належить даний динамічний ряд (стаціонарний або нестаціонарний), у разі не стаціонарності сформувати стаціонарний процес та визначити ступінь його інтегрування.

9.Додайте пропущену інформацію в табл.. 3.6.3, зазначивши, коли коефіцієнти автокореляції й часткової автокореляції у цих моделях згасають або спадають миттєво.

Таблиця 3.5.3

Характеристики основних типів моделей

Модель	Автокореляції	Часткові автокореляції

10.У наступній таблиці наведені останні п’ять спостережень набору даних із 75 значень.

Період	Час (t)	Значення (Yt)	Прогнози ( )	Залишки (et)
t-4			76,1	13,9
t-3			69,1	8,9
t-2			75,3	11,7
t-1			72,0	27,0
t			64,3	7,7
t+1			80,6
t+2

Побудувати точковий та інтервальний прогнози на один крок випередження за допомогою моделі МА(2), використовуючи дані таблиці, якщо відомі наступні оцінки моделі: 75,4; -0,5667; 0,3560; 137,9.

11.Дві оцінені моделі ARIMA є адекватними. Перша – це модель AR(1) із параметрами (включаючи постійний член) та Другою є модель МA(2) із параметрами (включаючи постійний член) та Для обох моделей були розраховані критерії AIC та SIC, як показано нижче.

AR(1):

МA(2):

Зробіть висновок про кращу з двох моделей.

12.Використовуючи умову завдання 13, побудувати точковий та інтервальний прогнози на два кроки випередження за допомогою моделі МА(2).

13.Припустімо, до даних спостережень застосовується наступна модель часового ряду і адекватність її доведена.

.

Першими спостереженнями є Y₁=32,5; Y₂=36,6; Y₃=33,3; Y₄=31,9. Припустімо, що 35 та 0. Побудуйте прогноз для періодів 5,6, та 7, прийнявши за початкову точку прогнозування період 4.

14.Знайдіть інтервал надійності із 95% рівнем значущості для коефіцієнта автокореляції із запізненням на один період для часового ряду, що містить 80 значень.

15.У наступній таблиці наведені останні п’ять спостережень набору даних із 75 значень.

Період	Час (t)	Значення (Yt)	Прогнози ( )	Залишки (et)
t-4			76,1	13,6
t-3			67,5	10,5
t-2			74,0	13,0
t-1			69,1	29,9
t			62,7	9,3
t+1			77,2

Побудувати точковий та інтервальний прогнози на один крок випередження за допомогою моделі АR(2), використовуючи дані таблиці, якщо відомі наступні оцінки моделі: 115,2; -0,535; 0,0055; 150,9.

16.За даними завдання 17 побудувати точковий та інтервальний прогнози на два кроки випередження за допомогою моделі АR(2).

3.6.4. Розв’язок завдань із застосуванням комп’ютера

Застосування системи STATISTICA

Завдання 1. Проаналізувати стаціонарність ряду біржових цін акції stock2, що реєструється впродовж 200 днів на час закриття біржі, заданий у файлі stocks.sta каталогу statistica/examples, і визначити порядок оператора послідовних різниць переходу до стаціонарності, використовуючи систему STATISTICA.

Розв’язок в системі STATISTICA демонструється у двох варіантах

Варіант 1.

1. Стандартним чином активізуйте модуль Анализ временных рядов и прогнозирование.

2. Натиснувши кнопку Open Data - Открыть Данные, що розташована у правому верхньому куту стартової панелі, відкрийте файл даних stocks.sta з каталогу statistica/examples.

3. Натисніть кнопку Variables - Переменные й виберіть змінну stock2 для аналізу.

4. Натисніть кнопку Преобразования, автокорреляции, межкорреляции, вычерчивание, яка відкриває діалог перетворення змінної. На екрані з’явиться вікно Преобразования переменных (рис.3.5.1).

Рис. 3.5.1. ВікноПреобразования переменных

5. Отримайте графічне зображення ряду (рис.4.6.2),натиснувши кнопкуПросмотреть подсвеченную переменную. Графічний аналіз даних свідчить про не стаціонарність ряду – котирування мають тенденцію до спаду.

Рис. 3.5.2. Графік ряду stock2

6. Перейдемо до перших різниць ряду stock2 D(-1). Для цього у вікніПреобразования переменныхпослідовно виконаємо команди Дифференцировать →Да (Преобразование выбраного ряда) → Дифференцированиеіз опцією lag 1. Знов дивимося ряд на графіку (рис. 3.5.2). Візуально траєкторія ряду перших різниць є стаціонарною.

Рис. 3.5.2. Ряд перших різниць stock2D(-1)

7.Для виділеної змінної stock2 D(-1)у вікніПреобразования переменныхпослідовно виконаємо команди Автокорреляции →Autocorrelations. В результаті отримаємо корелограму перших різниць ряду котирувань акції (рис. 3.5.3). У перетвореному ряді не існує значущих коефіцієнтів автокореляції, що свідчить про його стаціонарність. Це означає, що і можна переходити до визначення решти параметрів моделі, тобто p, q.

Рис. 3.5.3. Автокореляційна функція перших різниць ряду котирувань акцій

Варіант 2.

Перші п’ять кроків виконуються аналогічно першому варіанту. Зміни у перетворенні ряду до стаціонарного відбуваються у діях шостого й сьомого пунктів.

6. Видаляємо тренд. Для цього у вікніПреобразования переменныхвикористаємо опцію → Вторая переменная DATE→ Остаточностьіз опцією lag 0→Да (Преобразование выбраного ряда). За допомогою цих дій видаляється лінійний тренд в ряді stock2. Знов дивимося ряд на графіку (рис. 3.5.4). Програма оцінила параметри лінійного тренду й відняла його від ряду. Формула тренду міститься у заголовку графіка.

Рис. 3.5.4. Ряд stock2після видалення лінійного тренду

7.Для виділеної змінної у вікніПреобразования переменныхвиконаємо команду Автокорреляции -Autocorrelations. Система оцінить автокореляції та побудує графік вибіркової автокореляційної функції. На екрані можна побачити таблицю із числовими оцінками та графік функції (рис. 3.5.5, 3.5.6).

Рис. 3.5.5. Таблиця із оцінками автокореляційної функції ряду

У автокореляційної функції є тенденція до згасання, отже, ряд із видаленим лінійним трендом можна у першому наближенні вважати стаціонарним. Ряд stock2 характеризується ARІMA(p,d,q)-моделлю із параметром . Далі можна переходити до визначення решти параметрів моделі.

Завдання 2. Продовжимо аналіз ряду котирувань ціни акції stock2, розпочатий у Завданні 1. Для ARІMA(p,d,q)-моделі котирувань ціни акції stock2 у попередньому завданні визначений параметр . Тепер треба визначити параметри p та q.

Розв’язок в системі STATISTICA

1. У модулі Анализ временных рядов и прогнозирование перетворимо не стаціонарний процес stock2 на стаціонарний процес stock2 із видаленим лінійним трендом . Для цього потрібно повторити кроки 1-7 Завдання 1.

2. Для визначення параметрів p та q розглянемо вибіркові автокореляційну та часткову автокореляційну функції ряду stock2 із видаленим лінійним трендом. Для виділеної змінної у вікні Преобразования переменных виконаємо команду Автокорреляции - Autocorrelations. Система оцінить та побудує графіки вибіркових автокореляційної та часткової автокореляційної функцій (рис. 3.5.6, 3.5.7).

Рис. 3.5.6. Автокореляційна функція ряду

Рис. 3.5.7. Часткова автокореляційна функція ряду

Згідно з практичним критерієм (див. табл. 3.5.1), якщо автокореляційна функція експоненціально згасає, часткова автокореляційна функція має викид, коли лаг дорівнює 1 (кореляції для інших лагів статистично незначущі), то модель має один параметр і ідентифікується, як .

Початковий ряд stock2характеризується моделлю .

Завдання 3. Ідентифікувати сезонну модель ARІMA(p,d,q)(Рs,ds,Qs) для ряду щомісячних авіаперевезень SERIES G

Розв’язок в системі STATISTICA

1. У центрі стартової панелі модуля Анализ временных рядов и прогнозирование відкрийте діалог ARIMA & функции автокорреляции і перетворіть не стаціонарний процес SERIES G на стаціонарний. Для цього потрібно послідовно зробити три перетворення: логарифмування, узяття різниці із лагом 1 та різниці із лагом 12 (рис. 3.5.8).

Рис. 3.5.8. Діалогове вікно перетворення змінної до початку аналізу

2. Натисніть кнопку Начало оценки параметраі побудуйте графіки тричі перетвореного ряду та його вибіркових автокореляційної й часткової автокореляційної функцій (рис. 3.5.9, 3.5.10, 3.5.11).

Рис. 3.5.8. Графік ряду SERIES G після перетворень LN,

D(-1), D(-12)

Рис. 3.5.10. Автокореляційна функція ряду SERIES G після перетворень LN,

D(-1), D(-12)

Рис. 3.5.11. Часткова автокореляційна функція ряду SERIES G після перетворень LN, D(-1), D(-12)

Усі три графіки свідчать про стаціонарність перетвореного ряду авіаперевезень. З рис. 3.5.9 виходить, що прологарифмовані різницеві сезонні дані можна вважати стаціонарними, які коливаються біля 0. Коефіцієнти автокореляції мають два значних піки на зрушеннях 1 та 12 (далі йде різкий спад), а коефіцієнти вибіркової часткової автокореляції мають такі самі значні піки на зрушеннях 1 та 12, але їх спад відбувається поступово (згасає). Згідно із критерієм ідентифікації (табл. 3.5.1) параметри моделі можуть бути визначені як: , , сезонний лаг ряду щомісячних авіаперевезень дорівнює 12. Отже остаточно модель запишеться, як ARІMA0,1,1)(0,1,1) із сезонним зрушенням 12 .

Завдання 4. Зробити прогноз на 10 днів поспіль курсу акцій компанії ІВМ, за 369 спостереженнями (табл.3.5.3), що фіксувалися щоденно з 17 травня 2001 року до 2 листопада 2004 року (дані умовні). Використати модель ARІMA(p,d,q).

Таблиця 3.5.3

Біржові ціни акцій компанії ІВМ

Розв’язок в системі STATISTICA

1. Утворіть файл даних Spreadsheet1.sta, переписавши їх із табл. 3.5.3. У файлі присутня одна змінна Var10 – курс акції та 369 спостережень.

2. Стандартним чином активізуйте модуль Анализ временных рядов и прогнозирование. На стартовій панелі модуля натисніть кнопку Variables - Переменные і виберіть змінну Var10. для аналізу.

3. Натисніть кнопку Преобразования, автокорреляции, межкорреляции, вычерчивание, яка відкриває діалог перетворення змінної. На екрані з’явиться вікно Преобразования переменных. Натисніть кнопку Plot – График та проаналізуйте графік ряду ІВМ (рис.3.5.1).

Рис. 3.5.1. Курс акцій компанії ІВМ

З графіка видно, що ряд не стаціонарний. Щоб підтвердити цей висновок, можна подивитися автокореляційну функцію ряду.

4.Ідентифікуємо порядок різниці моделі . Для цього у вікніПреобразования переменныхпослідовно виконаємо команди Дифференцировать →Да (Преобразование выбраного ряда) → Дифференцированиеіз опцією lag 1. Знов дивимося ряд на графіку (рис. 3.5.2). Візуально траєкторія ряду перших різниць є стаціонарною.

Рис. 3.5.2. Ряд перших різниць курсу акцій компанії ІВМ

5.Для виділеної змінної Var10 D(-1)у вікніПреобразования переменныхвиконаємо команду Автокорреляции →Autocorrelations. В результаті отримаємо корелограму перших різниць ряду курсу акції ІВМ (рис. 3.5.3). Коефіцієнти автокореляції згасають, що свідчить про те, що ряд став стаціонарним і порядок моделі . Далі можна переходити до визначення решти параметрів моделі, тобто p, q.

Рис. 3.5.3. Автокореляційна функція перших різниць ряду курсу акцій ІВМ

6. Ідентифікуємо стаціонарний ряд Var D(-1). У автокореляційній функції тільки значення із лагом й істотно відмінне від нуля. У відповідностями із критеріями (див. табл. 3.5.1) можна припустити, що підходить модель ковзної середньої. Для уточнення цього припущення розглянемо часткову автокореляційну функцію. Для цього настисніть кнопку Частные автокорреляции (Рис.3.5.4).

Рис. 3.5.4. Часткова автокореляційна функція перших різниць ряду курсу акцій ІВМ

Очевидно, що часткова автокореляційна функція згасає за експонентою. Це дає підставу стверджувати, що ряд курсу акцій ІВМ можна описати моделлю : порядок різниці , параметр авторегресії і параметр ковзної середньої .

Повернемося до стартової панелі діалогу ARIMA. Для цього послідовно натисніть клавіші Отмена → ARIMA.

7. Знайдемо оцінку параметрів ідентифікованої моделі. Для цього виділяємо верхній рядок із назвою початкового файлу. У головній частині панелі – Параметры модели ARIMA - робимо тільки одну установку у рядку q, а саме 1. Усі інші значення мають значення 0. Відмічаємо опцію Дифференцирование із значенням 1 поруч. Натискуємо клавішу Начало оценки параметров. В результаті з’явиться вікно Результаты.

8. Розглянемо результати детальніше, натиснувши клавішу Итог: Оценки параметра. Отримаємо таблицю із даними точкової оцінки невідомого параметра, наближену стандартну похибку, верхню та нижню межі інтервалу надійності, значення t критерію. З таблиці виходить, що модель статистично значуща. Система сама підказує значущі коефіцієнти, виділяючи їх червоним кольором.

Рис. 3.5.5. Таблиця оцінок параметрів

9.Проаналізуємо адекватність моделі. Розглянемо залишки часового ряду. Спочатку розглянемо графік залишків (рис. 3.5.6), для чого натиснемо кнопки Просмотр & остатки → График, а потім, використовуючи кнопки Автокорреляции - Autocorrelations, графіки вибіркових автокореляційної та часткової автокореляційної функцій (рис. 3.5.7, 3.5.8).

Рис. 3.5.6. Графік залишків

Рис. 3.5.7. Автокореляційна функція ряду залишків

Рис. 3.5.8. Часткова автокореляційна функція ряду залишків

Ряд залишків майже не відрізняється від білого шуму.

Певну неадекватність моделі можна побачити, якщо розглянути розподіл залишків: гістограму та накреслену нормальну імовірність. Для цього послідовно виконаємо команди Распределение остатков → Histogram → Вычерчивание нормальной вероятности.Це можна пояснити викидом на графіку залишків між випадком 210 і випадком 220, що спричиняє коливання залишків із більшою інтенсивністю. Для усунення такого викиду у даних спостережень можна рекомендувати дослідити цей ряд за допомогою функції Аналіз прерванного временного рядау модуліАнализ временных рядов и прогнозирование.

Рис. 3.5.9. Гістограма залишків

Рис. 3.5.10. Графік нормальної імовірності

10.Побудуємо прогноз. Ініціюємо кнопку Прогнозирование случаеву вікні Результаты одиночного ряда(рис. 3.5.11). З’явиться таблиця прогнозів (рис. 3.5.12). У першому стовпці знаходяться значення прогнозів, починаючи із 370 випадку, далі – нижня межа 90% інтервалу надійності, верхня межа, стандартна похибка.

Рис. 3.5.11. Вікно Результаты одиночного ряда

Рис. 3.5.12. Таблиця прогнозів

Межі інтервалу надійності прогнозу є важливими. Їх можна використати, наприклад, для оцінки ризику під час прийняття рішення на підставі прогнозу. Розрахувати ризик від неправильного прийняття рішення.

Кліпніть далі по кнопці График рядов и прогнози. На графіку (рис.3.5.13) можна побачити графік вихідного ряду, пунктирні лінії прогнозу та інтервалу надійності, яка починається у останньому спостереженні.

Рис. 3.5.13. Прогноз ряду акції ІВМ

3.5.6. Термінологічний словник

Часовий ряд – утворюється із даних спостережень зафіксованих впродовж послідовних проміжків часу.

Методологія Бокса-Дженкінса – спирається на ряд процедур ідентифікації, коригування й перевірки моделей ARIMA з метою аналізу даних часових рядів. Прогноз виходить безпосередньо із підібраної моделі.

Принцип економії стверджує, що якщо треба зробити вибір з декількох моделей, то перевага надається більш простій моделі.

Авторегресійним називається процес, у якому значення рівнів ряду перебувають в лінійній залежності від попередніх рівнів.

Автокореляцієюназивається залежність значень рівнів часового ряду від попередніх (зрушення на 1, зрушення на 2 тощо) рівнів того ж часового ряду.

Корелограма – це графік коефіцієнтів автокореляції для різних значень зрушень ряду у часі.

Похибка прогнозу – різниця між між значенням спостереження та його прогнозом.