Идеальный низкочастотный сигнал

Математические модели сигналов с ограниченным спектром

Пусть — конечный отрезок оси частот. Спектральная плотность сигнала с ограниченным спектром удовлетворяет условиям при при всех других значениях частоты.

Математическую модель сигнала с ограниченным спектром во временной области можно получить из формулы обратного преобразования Фурье:

(5.1)

В зависимости от выбора отрезка и функции возникают самые разнообразные виды сигналов с ограниченным спектром. Изучим некоторые простейшие примеры.

Идеальный низкочастотный сигнал

Рассмотрим колебание с постоянной вещественной спектральной плотностью в пределах отрезка оси частот от нуля до верхней граничной частоты вне этого отрезка спектральная плотность сигнала обращается в нуль:

(5.2)

Мгновенные значения такого сигнала

(5.3)

идеальный низкочастотный сигнал

Будем называть такое колебание идеальным низкочастотным сигналом (ИНС), подчеркивая этим простейший вид его спектра по сравнению со спектрами других возможных сигналов подобного рода.

График ИНС, построенный по формуле (5.3), имеет вид осциллирующей кривой, четной относительно начала отсчета времени. С увеличением верхней граничной частоты спектра возрастают как центральный максимум, так и частота осцилляции.

ИНС более общего вида получается, если в формулу (5.2) ввести фазу спектральной плотности, линейно зависящую от частоты:

(5.4)

Спектральной плотности (5.4) соответствует низкочастотный сигнал

смещенный во времени относительно сигнала (5.3) на секунд.

Предполагается, что частотная характеристика ФНЧ достаточно точно аппроксимируется функцией прямоугольной формы с заданным значением верхней граничной частоты.

ИНС является идеализированной выходной реакцией фильтра нижних частот (ФНЧ), возбуждаемого колебанием с равномерной по частоте спектральной плотностью, т. е. дельта-импульсом.