Преобразование Гильберта

Формула (5.44) показывает, что спектральная плотность сопряженного сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции Поэтому сопряженный сигнал представляет собой свертку двух функций: и которая является обратным преобразованием Фурье по отношению к функции

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Тогда

Умножением на экспоненциальный множитель обеспечиваем абсолютную интегрируемость функции и существование обратного преобразования Фурье

Таким образом, сопряженный сигнал связан с исходным сигналом соотношением

(5.45)

Можно поступить и по-иному, выразив сигнал через который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (5.44) вытекает следующая связь между спектральными плотностями:

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (5.45) лишь знаком:

(5.46)

Формулы (5.45) и (5.46) известны в математике под названием прямого и обратного преобразований Гильберта. Символическая запись их такова:

(5.47)

Поскольку функция называемая ядром этих преобразований, имеет разрыв при интегралы (5.45) и (5.46) следует понимать в смысле главного значения. Например: